Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 2

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Monazo

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Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 2

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 29 Ago, 2019 9:45 pm

Con los dígitos $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ Bruno realiza el siguiente procedimiento:
Primero reordena los diez dígitos (pueden quedar como están). Luego calcula las ocho sumas de tres dígitos consecutivos del reordenamiento. Finalmente anota la mayor de esas ocho sumas. Determinar el mínimo valor que puede anotar Bruno. Dar un reordenamiento para ese valor y explicar por qué no puede ser menor.
Nota. Si el reordenamiento de Bruno es $2,0,1,5,3,4,8,9,6,7$ entonces los resultados de las ocho sumas que calcular Bruno son $3,6,9,12,15,21,23,22$ y anota $23$.

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Turko Arias

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Re: Provincial 2019 - Nivel 1 - Problema 2

Mensaje sin leer por Turko Arias » Sab 31 Ago, 2019 3:53 am

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Supongamos que Bruno ya reordenó los números. Sea $A$ la tira formada por los primeros $9$ números y sea $B$ la tira formada por los últimos $9$ números. Es claro que en alguna de las dos tiras va a estar el $9$. Tomemos la tira en la que está, y sumemos los nueve números de esa tira... Notamos que como mínimo esta suma da $0+1+2+3+4+5+6+7+9=37$. Ahora bien, esta tira, está formada por tres tiritas pegadas de tres números cada una. Si ninguna de las tres tiritas sumara más de $12$, entonces entre las tres tiritas no sumarían más de $36$, pero ya vimos que suman, como mínimo, $37$, por lo que podemos afirmar que si o si va a haber al menos una tirita de tres que sume más de doce. Veamos que el siguiente ejemplo cumple que el mínimo es $13$:
$9-4-0-6-5-1-7-2-3-8$ $\blacksquare$
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