Provincial 2019 - Nivel 2 - Problema 1

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Monazo

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Provincial 2019 - Nivel 2 - Problema 1

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 29 Ago, 2019 10:11 pm

Alex y Bea juegan al siguiente juego: Alex elige $181$ números enteros. A continuación, Bea elige $19$ de los números de Alex, eleva al cuadrado cada uno de ellos y suma los $19$ cuadrados. Si esta suma es un múltiplo de $19$ gana Bea, si no, gana Alex. Determinar si Alex puede elegir los $181$ números de modo que Bea le sea imposible ganar.

Npcpepe2
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Re: Provincial 2019 - Nivel 2 - Problema 1

Mensaje sin leer por Npcpepe2 » Vie 30 Ago, 2019 12:26 am

Los restos de los enteros al cuadrado en la division por 19 son:

1 1
4 4
9 9
16 16
25 6
36 17
49 11
64 7
81 5
100 5
121 7
144 11
169 17
196 6
225 16
256 9
289 4
324 1
361 0
Ahora empieza de nuevo
400 1
441 4
...
Esto pasa porque cada numero es
19n+a
(19n+a)^2=361n^2+38na+a^2
361 y 38 son multiplos de 19 asi que como el resto en la division por 19 (llamado a) esta entre 0 y 18 comprobamos que el resto de un cuadrado perfecto por 19 se repite.

Asi se observa que hay 10 restos distintos en la division de un cuadrado por 19 que son 1, 4, 9, 16, 6, 17, 11, 7, 5 y 0, si se suman 19 numeros con el mismo resto se obtiene un multiplo de 19 ya que el resultado de esta suma es 19×a+19×n

Siempre va a haber entre 181 numeros 19 numeros con el mismo resto en la division por 19. Ya que para 180 puede haber 10 restos distintos y 18 numeros con cada resto pero con 181 va a haber al menos 19 numeros con el mismo resto. Es decir que bea siempre gana

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