Nacional Brasil 2018 Fase Única - N1 P5 / N2 P1

[BrunZo]

Un cubo $n\times n\times n$ y formado por $n^3$ cubos unitarios inicialmente tiene un cubo pintado de rojo en uno de sus vértices. Numeramos este cubo con el número $1$. Todos los días desde el día $2$, los cubos vecinos (cubos con caras comunes) a cubos rojos también se vuelven rojos y son numerados con el número del día.

Brasil N1 P5 i.PNG

Por ejemplo, el cubo $2\times 2\times 2$ de arriba en el primer día tiene un cubo rojo con el número $1$ en el segundo, hay cuatro cubos rojos, uno con el número 1 y tres con el número 2, al tercer día hay siete, hay un cubo con el número 1, tres con el número 2 y tres con el número 3, y sólo en el cuarto día todos sus cubitos resultan en color rojo. Para representar la numeración final podemos usar $n$ bandejas que representan cada una de las capas del cubo se ve desde el frente. Por ejemplo, para el cubo $2\times 2\times 2$ de arriba tenemos lo siguiente
capas:

Brasil N1 P5 ii.PNG

a) En la siguiente figura tenemos las cuatro capas del cubo $4\times 4\times 4$ y los cubos numerados con $1$ y $2$. Copiar y completar estas $4$ bandejas con los correspondientes números del cubo.

Brasil N1 P5 iii.PNG

b) En un cubo de $10\times 10\times 10$ ¿cuántos cubos están numerados con $7$? ¿Y cuántos están numerados con $13$?
c) En un cubo $2018\times 2018\times 2018$ ¿qué número aparece con mayor frecuencia en el número de cubos? (Si hay más de un número que aparece la mayoría de las veces, los enumeramos a todos).