Nacional Brasil 2018 Fase Única - N2 P5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
BrunZo

OFO - Medalla de Bronce FOFO 8 años - Mención Especial OFO - Medalla de Plata FOFO Pascua 2019 - Medalla
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Nacional Brasil 2018 Fase Única - N2 P5

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 02 Sep, 2019 11:10 pm

En una pizarra se escriben inicialmente los números $1$, $2$, ..., $10$. Para dos números cualquiera $a$ y $b$ en la pizarra llamamos a $S_{a, b}$ la suma de todos los números en el tablero excepto $a$ y $b$. Una operación permisible es eligir dos números $a$ y $b$ en la pizarra, borralos y escribir el número $a+b+\frac{ab}{S_{a,b}}$. Después de realizar esta operación algunas veces sólo quedan dos números $x$ e $y$ en la pizarra, con $x\geq y$.
a) ¿Cuántas operaciones se realizaron?
b) Determine el mayor valor posible para $x$.
1  

BrunZo

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Re: Nacional Brasil 2018 Fase Única - N2 P5

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 09 Sep, 2019 9:55 pm

Gran problema.
Pistas:
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Pista 1.
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Invariantes.
Pista 2.
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Experimentar con tres numeritos: $a, b, c$ pasa a ser $a$ y $b+c+\frac{bc}{a}$. ¿Qué cosa no cambia?
Pista 3.
Spoiler: mostrar
Notar que $a\left(b+c+\frac{bc}{a}\right)=ab+ac+bc$, que es la suma de los productos de todas las parejas que se pueden formar con los tres números de antes. ¿Se puede generalizar algo parecido para más números?
Solución:
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a) $9$. :roll:
b) Yo digo que $x\leq 1320$. Veamos porque:
Sean $a_1, a_2, a_3,... a_n$ los números en la pizarra, en cierto momento.
Luego de la operación, quedan los números $a_1, a_2, a_3,..., a_{n-2}, K=a_{n-1}+a_n+\frac{a_{n-1}a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_{n-2}}$.
Consideremos ahora, la cantidad
$$\sum_{1\leq i<j\leq n}{a_ia_j}$$
es decir, la suma de los productos de las parejas que se pueden formar con los $a_i$. Esta cantidad, después de la operación, vale
$$\sum_{1\leq i<j\leq n-2}{a_ia_j}+\left(a_{n-1}+a_n+\frac{a_{n-1}a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_{n-2}}\right)(\sum_{1\leq i\leq n-2}{a_i})=\sum_{1\leq i<j\leq n-2}{a_ia_j}+\sum_{1\leq i\leq n-2}{a_i(a_{n-1}+a_n)}+a_{n-1}a_n=\sum_{1\leq i<j\leq n}{a_ia_j}$$
Es decir, la cantidad que elegimos (suma de productos de parejitas), permanece invariante.
Esto, significa, que en el último paso, vamos a tener
$$x\cdot y=1\cdot 2+1\cdot 3+1\cdot 4+\cdots+9\cdot 10=\frac{(1+2+3+\cdots+10)^2-(1^2+2^2+3^3+\cdots+10^2)}{2}=\frac{55^2-385}{2}=1320$$
Finalemente, como claramente el nuevo número $K$ es siempre mayor que $a_{n-1}$ y $a_n$, entonces $K>1$, de modo que nunca podremos lograr que $y<1$, por lo que $x=\frac{1320}{y}\leq \frac{1320}{1}=1320$

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