Nacional Brasil 2018 Fase Única - N3 P3

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BrunZo

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Nacional Brasil 2018 Fase Única - N3 P3

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 02 Sep, 2019 11:24 pm

Sean $k$ y $n$ enteros positivos fijos. En una mesa circular, se colocan en este orden los pines numerados con los números $1$, ..., $n$, con $1$ y $n$ vecinos. Se sabe que el pin $1$ es dorado y el resto son blanco. Arnaldo y Bernaldo juegan un juego en el que inicialmente se coloca un anillo en uno de los pines y en cada paso este cambia de posición. El juego comienza con Bernaldo eligiendo un pin de inicio para el anillo, y el primer paso consiste en lo siguiente: Arnaldo elige un número entero positivo cualquiera $d$ y Bernaldo mueve el anillo $d$ pines en el en sentido horario o antihorario (las posiciones se consideran módulo $n$, es decir, los pines $x$ e $y$ son iguales si y solo si $n$ divide $x - y$). Después de eso, el anillo cambia de pines de acuerdo con uno de los siguientes reglas, a elegir en cada paso por Arnaldo:

Regla 1: Arnaldo elige un número entero positivo cualquiera $d$ y Bernaldo cambia el anillo $d$ pines en sentido horario o en sentido antihorario.

Regla 2: Arnaldo elige una dirección (en sentido horario o antihorario), y Bernaldo mueve el anillo $kd$ pines en esa dirección, donde $d$ es el tamaño del último desplazamiento realizado.

Arnaldo gana si, después de un número finito de pasos, el anillo se desplaza al pin de oro. Determinar, en función de $k$, los valores de $n$ para los cuales Arnaldo tiene una estrategia que garantiza su victoria, no importa cómo juegue Bernaldo.

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