Mayo 2018 Problema 3 Nivel 2

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maxiR

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Olimpiada de Mayo 2018 nivel 2 problema 3

Mensaje sin leer por maxiR » Lun 24 Sep, 2018 11:15 am

Los $2018$ residentes de un pueblo estan estrictamente divididos en dos clases:caballeros, que siempre dicen la verdad, y mentirosos, que siempre mienten.Cierto dia todos los residentes se acomodaron alrededor de una circunferencia y cada uno de ellos anuncio en voz alta "Mis dos vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, son mentirosos".A continuacion uno de los residentes abandono el pueblo.Los $2017$ que quedaron se acomodaron nuevamente en una circunferencia(no necesariamente en el mismo orden que antes) y cada uno de ellos anuncio en voz alta "Ninguno de mis vecinos ,el de la izquierda y el de la derecha es de mi misma clase".Determinar, si es posible,de que clase es el residente que abandono el pueblo, caballero o mentiroso.

Peznerd
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Re: Olimpiada de Mayo 2018 nivel 2 problema 3

Mensaje sin leer por Peznerd » Mar 30 Oct, 2018 12:35 pm

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En el primer caso podemos notar que para cada caballero le corresponden dos vecinos mentirosos. Como siempre dicen la verdad, entonces cada uno de sus vecinos mienten. El patrón queda así:
$M, C, M$
Los mentirosos siempre mienten. Como dijeron que sus vecinos mienten, entonces al menos uno de ellos debe decir la verdad. Es decir, al menos uno de ellos debe ser caballero. Nos quedan como posibles patrones:
$C, M, C$
$M, M, C$
$C, M, M$
Detalle muy importante: a partir de estos dos patrones, podemos observar que si hay caballeros habrá mentirosos y viceversa, sí o sí.
El primer patrón para la primera circunferencia que se nos puede ocurrir es el siguiente:
$*...C,M,C, M...C, M,C,M...*$ (los asteriscos representan que vuelve a empezar, porque es una circunferencia)
Es decir que a cada uno de los caballeros le correspondería un mentiroso a su izquierda y un mentiroso a su derecha. De forma semejante, a cada mentiroso le correspondería un caballero a su izquierda y un caballero a su derecha. Sin embargo, este patrón no nos servirá para la siguiente circunferencia. Más adelante esto será explicado.

En el segundo caso, podemos observar que:
Para cada caballero, le corresponde un vecino mentiroso a su izquierda y un vecino mentiroso a su derecha. La expliación es que, si los caballeros siempre dicen la verdad y dijeron que ninguno de sus vecinos son de su misma clase, entonces sí o sí ambos vecinos son mentirosos. Entonces, por cada caballero ($C$) el patrón posible de vecinos es solamente uno:
$M, C, M$
Para cada mentiroso, le corresponde no tener como vecinos a dos caballeros. Si los mentirosos siempre mienten y dijeron que ninguno de sus vecinos son de su misma clase, entonces es imposible que ambos vecinos sean caballeros porque estarían diciendo la verdad, inclumpliendo la consigna del problema. Como es mentira que ninguno de sus vecinos es de su misma clase, entonces al menos un vecino es de su misma clase. Los patrones posibles para cada mentiroso ($M$) son:
$M, M, M$
$M, M, C$
$C, M, M$
A partir de estos razonamientos, si nos planteamos organizar la nueva circunferencia con 2017 integrantes, resulta ser que, como necesitamos colocar caballeros sí o sí (como vimos en "Detalle muy importante"), tras colocar uno debemos rodearlo con mentirosos para cumplir el patrón:
$M, C, M$
Luego, para cumplir el patrón de los mentirosos, deberemos colocar otros dos mentirosos a los extremos:
$M, M, C, M, M$
A partir de acá podemos colocar caballeros de vez en cuando al azar, seguidos de un mentiroso, o varios mentirosos hasta completar y cerrar la circunferencia con los 2017 residentes.

Volviendo al primer caso, notemos que, como vimos en el segundo caso, la cantidad de mentirosos tiende a ser mayor que la de caballeros. De hecho, la cantidad máxima de caballeros para la segunda circunferencia es de 672:
$*...C, M, M, C, M, M...C, M, M, C, M, M, M...*$
Y la cantidad mínima de caballeros para el segundo caso es de 1:
$*...M, M, M, C, M, M...M...*$

Para el primer caso la cantidad mínima de caballeros resulta ser 672:
$*...M, M, C, M, M, C...M, M, C, M, C...*$
Y la cantidad máxima para la primera circunferencia es de 1009:
$*...C,M,C, M...C, M,C,M...*$

Si $X$ es la cantidad de caballeros que hay en la segunda circunferencia, surge entonces la inecuación:
$0 < X < 673 ∩ 670 < X < 1009$

Las únicas posibilidades son que en la segunda circunferencia haya 671 o 672 caballeros (dependiendo de si quien abandonó el pueblo fuese caballero o no, ya que el problema nos dice que un residente abandonó el pueblo, mas no sabemos si es caballero o mentiroso), por lo tanto en la primera había 672 caballeros, porque no pueden haber 671. Como ambas opciones de 671 y 672 son factibles para $X$ matemáticamente con los patrones mostrados, no se sabe si el residente que se fue del pueblo es caballero o mentiroso.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

tuvie

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Mayo 2018 Problema 3 Nivel 2

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 08 Sep, 2019 12:34 pm

Los $2018$ residentes de un pueblo están estrictamente divididos en dos clases: caballeros, que siempre dicen la verdad, y mentirosos, que siempre mienten. Cierto día todos los residentes se acomodaron alrededor de una circunferencia y cada uno de ellos anunció en voz alta “Mis dos vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, son mentirosos”. A continuación uno de los residentes abandonó el pueblo. Los $2017$ que quedaron se acomodaron nuevamente en una circunferencia (no necesariamente en el mismo orden que antes) y cada uno de ellos anunció en voz alta “Ninguno de mis vecinos, el de la izquierda y el de la derecha, es de mi misma clase”.
Determinar, si es posible, de qué clase es el residente que abandonó el pueblo, caballero o
mentiroso.

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