Mayo 2018 Problema 5 Nivel 2

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maxiR

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Olimpiada de Mayo 2018 nivel 2 problema 5

Mensaje sin leer por maxiR » Dom 23 Sep, 2018 7:42 pm

Cada punto de una circunferencia esta coloreado con uno de $10$ colores.¿Es cierto que para cualquier coloracion hay $4$ puntos del mismo color que son vertices de un cuadrilatero con dos lados paralelos (un trapecio isoceles o un rectangulo)?

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Joacoini

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Re: Olimpiada de Mayo 2018 nivel 2 problema 5

Mensaje sin leer por Joacoini » Lun 24 Sep, 2018 12:44 am

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Generalización para $n$ colores.
Notemos que con encontrar 4 puntos $A, B, C$ y $D$ distintos y del mismo color tales que $AB=CD$ estaríamos. (1)
Spoiler: mostrar
Caso 1, los segmentos $AB$ y $CD$ no se intersecan.
$A\hat CB=A\hat DB=C\hat AD=C\hat BD$ luego por alternos internos $AC\parallel BD \cup AD\parallel BC$ (depende de como nombras los puntos en el dibujo)

Caso 2, se intersecan.
Estén $A, C, B$ y $D$ en sentido horario y en el orden nombrado.
$A\hat CB=180-C\hat BD \Rightarrow BD\parallel AC$
Consideremos el polígono regular de $n+1$ lados dentro de la circunferencia, por palomar hay $2$ vértices del mismo color.
La cantidad de coloraciones distintas del polígono regular de $n+1$ lados es finita pero la cantidad de polígonos regulares de $n+1$ lados dentro de la circunferencia es infinita, por lo tanto hay 2 con la misma coloración, sean $A$ y $B$ los puntos que son del mismo color en uno de los polígonos y $C$ y $D$ los respectivos puntos en el otro polígono $AB=CD$ y por (1) estariamos.
NO HAY ANÁLISIS.

tuvie

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Mayo 2018 Problema 5 Nivel 2

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 08 Sep, 2019 12:37 pm

Cada punto de una circunferencia está coloreado con uno de $10$ colores. ¿Es cierto que para cualquier coloración hay $4$ puntos del mismo color que son vértices de un cuadrilátero con dos lados paralelos (un trapecio isósceles o un rectángulo)?

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