Mayo 2017 Nivel 2 Problema 2

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tuvie

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Mayo 2017 Nivel 2 Problema 2

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 08 Sep, 2019 12:56 pm

Varios números reales diferentes están escritos en el pizarrón. Si $a,~ b,~ c$ son tres de estos
números, distintos entre sí, al menos una de las sumas $a+b,~ b+c,~ c+a$ también es uno de los
números del pizarrón. ¿Cuál es la mayor cantidad de números que pueden estar escritos en el pizarrón?

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1000i Elizalde

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Re: Mayo 2017 Nivel 2 Problema 2

Mensaje sin leer por 1000i Elizalde » Mié 19 Feb, 2020 1:48 am

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Notamos que no puede haber 4 (o más) números positivos en el pizarrón . Suponemos que hay al menos $4$, entonces tomamos los $4$ más grandes (en este caso positivos) siendo $a<b<c<d$. Tomamos $b,c$ y $d$, necesariamente $b+c=d$, porque si a $d$ le sumamos otro positivo no nos va a dar un número del pizarron porque seria mayor a $d$ y ya que $b+c>c$ y el único número del pizarrón mayor a $c$ es $d$. Pero también, al tomar $a,c$ y $d$ tenemos que $a+c>c$ y por lo dicho anteriormente tendríamos que $a+c=d$ y por ende $a=b$, lo que es absurdo ya que todos los números eran distintos, entonces como mucho hay $3$ números positivos.
Ahora vemos que como máximo hay $3$ números negativos en el pizarrón. Suponemos que hay al menos $4$ entonces tomamos los $4$ menores (en este caso negativos), siendo $s<r<q<p$. Tomamos $q,r$ y $s$, tenemos que necesariamente $q+r=s$ , porque si a $s$ le sumamos otro negativo no nos va a dar un número del pizarron porque seria menor a $s$ y ya que $q+r<r$ y el único número menor a $r$ es $s$. Por otro lado, si tomamos $p,r$ y $s$, tenemos que $p+r<r$ y por lo dicho anteriormente tenemos que $p+r=s$ por lo que $p=q$, lo que es absurdo ya que todos los números eran distintos, entonces hay como mucho $3$ números negativos.
Ya que hay un solo número que no es ni negativo ni positivo (el $0$) tenemos que el máximo de números en el pizarrón es $7$.
Este es un ejemplo que muestra que con $7$ números si se puede:
$10;7;3;0;-3;-7;-10$
1  

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