Sea $A$ el conjunto de todos los números enteros desde $1$ hasta $300$ inclusive. Consideramos todos los tríos que se pueden formar utilizando tres números distintos de $A$, y para cada trío, calculamos su suma. Determinar para cuántos de estos tríos la suma es múltiplo de $3$.
Formas de que la suma tenga como resultado un múltiplo de tres:
1) Sumar tres números con resto 0 en la división por tres.
2) Sumar tres números con resto 1 en la división por tres.
3) Sumar tres números con resto 2 en la división por tres.
4) Sumar un número con resto 0 en la división por tres, un número con resto 1 en la división por tres y un número con resto 2 en la división por tres.
Casos 1, 2 y 3: 100x99x98 / 3x2x1
Caso 4: 100x100x100
Consideremos X;Y;Z 3 números del conjunto A, tales que X+Y+Z es un múltiplo de 3, entonces, acá hay 2 posibilidades, o X≡Y (mod 3) y Y≡Z (mod 3), o X;Y;Z no son congruentes entre si.
Si X;Y;Z son congruentes entre si, entonces:
((300/3) nCr 3) x 3 = 485.100 posibilidades
El 300 es por la cantidad de números total del conjunto A
El primer 3 por la cantidad de conjuntos que hay que todos son congruentes entre si, es decir, el 1;4;7 son congruentes y todos los demás, sumados 3 también, ya que dividido por 3, dejan resto 1
El segundo 3, por la cantidad de números del conjunto anterior que hay que elegir
Y el tercer 3, igual que el del primero
Si X;Y;Z no son congruentes entre si, entonces:
-Consideramos X un numero del conjunto A, tal que su resto, dividido por 3, da 0, entonces, entre 1 y 300 hay 100 números que satisfacen a X
-Consideramos Y un numero del conjunto A, tal que su resto, dividido por 3, da 1, entonces, entre 1 y 300 hay 100 números que satisfacen a Y
-Consideramos Z un numero del conjunto A, tal que su resto, dividido por 3, da 2, entonces, entre 1 y 300 hay 100 números que satisfacen a Z
Entonces las variaciones que se pueden encontrar en esta posibilidad serian 100x100x100 = 1.000.000
Ahora lo único que nos queda es sumar ambas posibilidades, entonces:
Aunque los temas que se usan en el desarrollo, en especifico, congruencias y combinaciones, no forman parte de temas que se ven en primer nivel, la verdad, es que yo, siendo de primer nivel, me ahorro un montón de tiempo saber estas 2 cosas, ya que aunque parezca difícil, es una pavada, y aunque seguramente halla algún que otro método que sea mas acorde a mi nivel, este fue el único que logre encontrar durante la prueba, ya que no se me ocurrió nada mas.
Por cada trío hay tres números distintos cuya suma es múltiplo de $3$, es decir, si tomamos tres números $a, b, c$ cualesquiera, se debe cumplir que $a+b+c \in M_{3}$, cosa que podemos traducir en $a+b+c \equiv 0\ (mod\ 3)$. Notemos que hay $3$ restos posibles módulo $3$: $0, 1, 2$; o sea, habrán $\frac{300}{3}=100$ números distintos con igual resto en la división por $3$ ($100$ por cada resto, que son tres. Se verifica $100\times3=300$). Entonces, los posibles tríos con números congruentes módulo $3$ serán las combinaciones de $100$ elementos tomados de a $3$, y a este resultado multiplicarlo por $3$ ya que hay $3$ posibles restos, lo que nos queda:
$$\binom{100}{3}\times3=\frac{100!}{3!\times 97!}\times3=485100$$
Es decir hay $485100$ posibles tríos con números congruentes módulo $3$. Ahora nos quedan calcular los tríos donde cada número tiene distinto resto en la división por $3$, que son $\frac{300}{3}=100$. Entonces habrán $100\times 100\times 100=1000000$ de posibilidades. Finalmente, el total de posibles tríos que cumplen las condiciones enunciadas serán $485100+1000000=1485100$
