Nacional 2002 N1 P6

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata FOFO 8 años - Medalla Especial OFO - Medalla de Oro FOFO Pascua 2019 - Medalla
Mensajes: 191
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 4
Nivel: 2
Ubicación: Ciudad Gotica

Nacional 2002 N1 P6

Mensaje sin leer por Joacoini » Lun 30 Sep, 2019 11:31 pm

En una caja fuerte hay $128$ bolsas con oro, todas con el mismo aspecto, pero todas de distinto peso. El tesorero quiere determinar las dos bolsas más pesadas y para ello dispone de una balanza de dos platos. La única operación permitida es colocar una bolsa en cada plato y de este modo establecer cuál de las dos es más pesada. Decidir si el tesorero puede lograr su objetivo efectuando $133$ operaciones permitidas. Si la respuesta es afirmativa, indicar la secuencia de pesadas; si es negativa, explicar el porqué.
NO HAY ANÁLISIS.

Avatar de Usuario
Fran5

OFO - Medalla de Oro OFO - Jurado FOFO Pascua 2019 - Jurado FOFO 7 años - Jurado FOFO 8 años - Jurado
Mensajes: 878
Registrado: Mié 21 Mar, 2012 1:57 pm
Medallas: 9
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Santa Fe

Re: Nacional 2002 N1 P6

Mensaje sin leer por Fran5 » Mar 01 Oct, 2019 9:19 am

Spoiler: mostrar
Es claro que toda bolsita debe pesarse al menos una vez, para saber si es más pesada o más liviana que las demás.
Luego usamos al menos $64$ operaciones.
Ahora, para buscar la más pesada, nos quedamos con las 64 más pesadas, e iteramos el proceso.
Necesitamos $32$ operaciones más.
Así hasta obtener una unica ganadora (Esto es tipo torneo, donde los ganadores juegan entre sí en la próxima ronda)

En total, usamos $64+32+ \ldots + 1 = 127$ operaciones, y la ganadora del torneo obviamente debe ser la más pesada

Pero nos faltó la segunda más pesada. ¿Cuál pudo haber sido?
Claramente la única bolsa más pesada que ella es la más pesada de todas.. con lo cual ésta segunda bolsa sólo puede ser la eliminada en alguna de la ronda.

En la ronda de $64$ operaciones, consideramos la que perdió con la más pesada.
En la ronda de $32$ operaciones, consideramos la que perdió con la más pesada.
...
En la ronda final (de una operación) consideramos la que perdió con la más pesada.

Luego hay $7$ bolsitas, de las cuales una es la que buscamos.

Y nuestro proceso puede ser el siguiente:
Tomamos la perdedora de la primer ronda, y la comparamos con la perdedora de la segunda ronda.
Tomamos la ganadora anterior, y la comparamos con la perdedora de la siguiente ronda.
...
Así hasta tener la ganadora anterior y compararla con la perdedora de la ronda final.

Si nos fijamos bien, en cada una de estas nuevas operaciones, tenemos que eliminar una bolsita. Como hay $7$ bolistas, tuvimos que eliminar $6$.

Finalmente, usamos $127 +6 = 133$ operaciones.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

Responder