Nacional 2002 N1 P5

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Joacoini

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Nacional 2002 N1 P5

Mensaje sin leer por Joacoini » Lun 30 Sep, 2019 11:36 pm

Sea $ABC$ un triángulo tal que $A\hat BC=2B\hat CA$; además, si $D$ denota al punto del lado $BC$ tal que $AD$ es bisectriz del ángulo $C\hat AB$, se tiene que $CD=AB$. Calcular las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$.
NO HAY ANÁLISIS.

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Ivan

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Re: Nacional 2002 N1 P5

Mensaje sin leer por Ivan » Mar 26 Nov, 2019 5:03 pm

Spoiler: mostrar
Sea $E$ en el lado $AC$ tal que $BE$ es bisectriz de $ABC$. Entonces $\angle EBC = \angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABC = \angle BCA$.

Luego $\angle EBC= \angle BCA = \angle BCE$ y entonces $\stackrel{\triangle}{BEC}$ es isósceles con $CE=BE$.

Ahora por el criterio LAL los triángulos $\stackrel{\triangle}{DCE}$ y $\stackrel{\triangle}{ABE}$ resultan congruentes, ya que $CD=AB$, $\angle DCE = \angle ABE$ y $CE=BE$. Por lo tanto $\angle EDC=\angle EAB$.

Luego $\angle BDE=180^\circ -EDC = 180-\angle EAB$ y entonces $ABDE$ es un cuadrilátero cíclico.

Por lo tanto $\angle EAD=\angle EBD=\angle EBC = \angle BCA$. Como $\angle EAD = \frac{1}{2} \angle CAB$ tenemos $ \angle CAB= 2 \angle BCA$.

Entonces$$180^\circ = \angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 2 \angle BCA + \angle BCA + 2\angle BCA = 5 \angle BCA.$$ Entonces $\angle BCA = \frac{180^\circ}{5}= 36^\circ$ y entonces $\angle ABC = \angle CAB = 2\cdot 36^\circ = 72^\circ$.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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