Nacional 2000 - N1 P4

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BrunZo

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Nacional 2000 - N1 P4

Mensaje sin leer por BrunZo » Jue 17 Oct, 2019 5:07 pm

Se tiene un tablero de $7\times 7$, cuadriculado en cuadraditos de $1\times 1$. Dividir el tablero en cinco pedazos, cortando por líneas de la cuadrícula, de modo que utilizando los cinco pedazos, y sin desperdiciar ninguno, se puedan armar al mismo tiempo tres tableros cuadrados (no necesariamente iguales). Los pedazos no se pueden superponer, y ninguno de los tres tableros puede tener huecos.

Peznerd
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Re: Nacional 2000 - N1 P4

Mensaje sin leer por Peznerd » Dom 03 Nov, 2019 8:02 pm

Pff, al fin encuentro un problema antiguo, no resuelto y que encima me sale...
Spoiler: mostrar
La única terna $(x,y,z)$ con $(x,y,z)$ naturales que cumplen $x^2 + y^2 + z^2 = 49$ es $(2,3,6)$ y sus simétricos. Ésto es importante puesto que la suma de las áreas de los tres nuevos tableros cuadrados es igual al área del tablero de $7\times7$.
Si es el único caso final posible, ¿por qué no vamos de atrás para adelante? Cortemos los $3$ tableros cuadrados (uno $2\times2$, otro $3\times3$ y el último $6\times6$) por la línea de la cuadrícula en $5$ trozos para formar un tablero $7\times7$.
Por Teorema del Palomar :idea: , habrá al menos un tablero sin cortar (cada corte origina un trozo más, por lo que haremos $2$ cortes).
Por lo tanto, iremos por casos. En el caso que el tablero de $6\times6$ no tenga cortes, nos quedan todo en la última fila y la última columna sin rellenar, pero probando veremos que tendremos éxito poniendo, como mínimo, $5$ trozos más (excediéndonos de los $5$ pedazos). Ahora, si dejamos el generoso tablero de $2\times2$ sin recortar en una esquina, completamos el resto así:

(Obviamente no había presupuesto para un tablero)

$p_6 p_6 p_6 p_6 p_6 p_6 s_6$
$p_6 p_6 p_6 p_6 p_6 p_6 s_6$
$p_6 p_6 p_6 p_6 p_6 p_6 s_6$
$p_6 p_6 p_6 p_6 p_6 p_6 s_6$
$p_6 p_6 p_6 p_6 p_3 s_6 s_6$
$p_2 p_2 p_3 p_3 p_3 s_6 s_6$
$p_2 p_2 p_3 p_3 p_3 s_3 s_3$

Donde $p_i$ denota una casilla que pertenece al primer trozo del tablero de $i\times {i}$ y $s_i$ denota una casilla del segundo pedazo del tablero de ${i}\times {i}$.
Y estamos.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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