Se tiene un tablero de $7\times 7$, cuadriculado en cuadraditos de $1\times 1$. Dividir el tablero en cinco pedazos, cortando por líneas de la cuadrícula, de modo que utilizando los cinco pedazos, y sin desperdiciar ninguno, se puedan armar al mismo tiempo tres tableros cuadrados (no necesariamente iguales). Los pedazos no se pueden superponer, y ninguno de los tres tableros puede tener huecos.
La única terna $(x,y,z)$ con $(x,y,z)$ naturales que cumplen $x^2 + y^2 + z^2 = 49$ es $(2,3,6)$ y sus simétricos. Ésto es importante puesto que la suma de las áreas de los tres nuevos tableros cuadrados es igual al área del tablero de $7\times7$.
Si es el único caso final posible, ¿por qué no vamos de atrás para adelante? Cortemos los $3$ tableros cuadrados (uno $2\times2$, otro $3\times3$ y el último $6\times6$) por la línea de la cuadrícula en $5$ trozos para formar un tablero $7\times7$.
Por Teorema del Palomar , habrá al menos un tablero sin cortar (cada corte origina un trozo más, por lo que haremos $2$ cortes).
Por lo tanto, iremos por casos. En el caso que el tablero de $6\times6$ no tenga cortes, nos quedan todo en la última fila y la última columna sin rellenar, pero probando veremos que tendremos éxito poniendo, como mínimo, $5$ trozos más (excediéndonos de los $5$ pedazos). Ahora, si dejamos el generoso tablero de $2\times2$ sin recortar en una esquina, completamos el resto así:
Donde $p_i$ denota una casilla que pertenece al primer trozo del tablero de $i\times {i}$ y $s_i$ denota una casilla del segundo pedazo del tablero de ${i}\times {i}$.
Y estamos.
, habrá al menos un tablero sin cortar (cada corte origina un trozo más, por lo que haremos $2$ cortes).