Nacional 2003 - N1 P4

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
BrunZo

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Nacional 2003 - N1 P4

Mensaje sin leer por BrunZo »

Un reloj digital que da la hora y los minutos desde las $00:00$ hasta las $23:59$, siempre muestra $4$ dígitos. Determinar durante cuánto tiempo, a lo largo de $24$ horas, el reloj exhibe por lo menos un $1$ pero ningún $2$ o exhibe por lo menos un $2$ pero ningún $1$.
Bleu
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Re: Nacional 2003 - N1 P4

Mensaje sin leer por Bleu »

Este problema me tocó a mi cuando tenía 14! Hoy ya tengo 32 pero nunca me voy a olvidar de la OMA. Buscando problemas de esa época llegué a este foro. Y me puse a hacer los de 2003. Un rato con una hoja y lo saqué. Creo que entraría en esos que en esa época categorizábamos como "listado o tanteo organizado"

Aquí va mi intento:
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Puntos a tener en cuenta:
- Si uno solo mira los minutos, lo que pasa cada hora se repite. De hecho, se repite 24 veces en el día. (De la hora 0 a la hora 23)
- Lo que cambia cada hora son los dígitos de la posición horaria. Varios casos se repetirán.

Lo que se me ocurrió hacer con lapiz y papel que eran los implementos permitidos, es lo siguiente:
1. Analizar que pasa con los minutos.
2. Armar distintos casos para los dígitos de las horas. En algunos "casos-hora" generarán distintos casos particulares.

Los casos-hora son:
1. Aquellos donde no hay ni un 1 ni un 2 en la hora. Los llamaré "casos normales". (Ej. 00hs, 03hs, 04hs. etc)
2. Aquellos donde hay solo 1s y ningun 2. Los llamaré "casos 1" (ej.: 01hs, 11hs, 19 hs)
3. Aquellos donde hay solo 2s y ningun 1. Los llamaré "casos 2" (ej.: 02 hs, 22 hs)
4. Aquellos donde hay 1 y 2 simultáneamente. Los llamaré "casos nulos" (Esta es fácil, solo es a las 12hs y 21 hs)

SI uno lista las 24 horas posibles, encuentra la siguiente distribución de casos-hora:

Casos normales: 8
Casos 1: 10
Casos 2: 4
Casos nulos: 2

Ahora, qué pasa con los minutos? Lo más sencillo es hacer un cuadro de doble entrada, viendo en que casos cada número esta solo, en qué casos están ambos, y en qué casos no hay ninguno, para cada minuto:
Imagen

Y, ¿cómo se combinan los casos para horas y para minutos?
Es bastante intuitivo. En los "casos normales" de los dìgitos de las horas, me interesan aquellos donde en los minutos hay solo 1s y aquellos donde hay solo 2s. Segùn el cuadro anterior, esto ocurre en 26 de cada 60 minutos. (13 para cada uno)
En los "casos 1" me interesan aquellos donde en los minutos no hay ningun 2. Según el cuadro anterior, esto ocurre en 45 de cada 60 minutos.
En los "casos 2" me interesan aquellos donde en los minutos no hay ningun 1. Según el cuadro anterior, esto ocurre en 45 de cada 60 minutos.
En los "casos nulos" ningun minuto es valido puesto que ya, de movida, hay 1 y 2 en simultáneo.

Finalmente, combinando ambas cosas tendremos:
a. 8 "casos normales" con 26 minutos válidos.
b. 10 "casos 1" con 45 minutos válidos.
c. 4 "casos 2" con 45 minutos válidos.

Haciendo la cuenta para estas tres combinaciones, tendremos:
8 x 26 + 10 x 45 + 4 x 45 = 838 minutos
1  
MathIQ
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Mensaje sin leer por MathIQ »

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Sabiendo que hay que encontrar la cantidad de tiempo que aparece por lo menos un 1 pero ningún 2 o al revés en un lapso de 24 hs y que el reloj marca siempre 4 dígitos (la hora y los minutos), se me ocurrió ir viendo cuando sucede esto y obtuve lo siguiente.
CASO 1:De las 00:00 a las 00:59 aparece en 26 casos ya que si vemos ocurre en el 00:01, 00:02; del 00:10 al 00.19, si vemos acá sucederá 9 veces ya que descartamos el 00:12 y lo mismo ocurre con el 00:20 al 00:29 y después se repite lo del comienzo, 00:31, 00:32, 00:41,00:42, 00:51,00:52, es decir, aparece en 9 x 2 +4 x 2 = 18 + 8 = 26 casos.
CASO 2:De las 01:00 a las 01:59 aparece en 45 casos ya que, si comenzamos contando tenemos 01:00,.. ,así hasta el 01:09 que son 9 casos ya que estamos descartando el 01:02, esto mismo ocurre con del 01:10 al 01:19,del 01:30 al 01:39,del 01:40 al 01:49,del 01:50 al 01:59 y descartamos del 01:20 al 01:29, por lo que en total tenemos 5 x 9 = 45 casos.
CASO 1: Ocurrirá siempre que en las horas del reloj no haya ni un 1 o 2.
CASO ocurrir siempre que en las horas del reloj haya un 1 o 2.
•Sigue en el otro comentario.
Última edición por MathIQ el Vie 23 Sep, 2022 1:32 pm, editado 3 veces en total.
:D
MathIQ
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Registrado: Dom 17 Jul, 2022 11:59 pm
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Re: Nacional 2003 - N1 P4

Mensaje sin leer por MathIQ »

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Agrupando los horarios según los casos obtenemos:
CASO 1:
1_00:00 al 00:59
2_03:00 al 03:59
3_04:00 al 04:59
4_05:00 al 05:59
5_06:00 al 06:59
6_07:00 al 07:59
7_08:00 al 08:59
8_09:00 al 09:59
CASO 2:
1_01:00 al 01:59
2_02:00 al 02:59
3_10:00 al 10:59
4_11:00 al 11:59
DESCARTADO_12:00 al 12:59
5_13:00 al 13:59
6_14:00 al 14:59
7_15:00 al 15:59
8_16:00 al 16:59
9_17:00 al 17:59
10_18:00 al 18:59
11_19:00 al 19:59
12_20:00 al 20:59
DESCARTADO_21:00 al 21:59
13_22:00 al 22:59
14_23:00 al 23:59
Es decir, en total tenemos 45 x 14 + 28 x 8 =838 casos y como cada caso es 1 minuto en total serían 838 minutos = 13:58 hs
:D
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