Nacional 2004 - N1 P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
BrunZo

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Nacional 2004 - N1 P3

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 21 Oct, 2019 3:33 pm

Nico ordena los números enteros del $1$ al $21$ inclusive y luego Pablo elige $4$ números que estén consecutivos de la lista de Nico. Nico debe pagarle a Pablo una cantidad de pesos igual a la suma de los 4 números que eligió Pablo. Determinar la menor cantidad de dinero que deberá pagar Nico y cómo debe ordenar los números para no tener que pagar más.

Aclaración: El objetivo de Pablo es cobrar lo más posible y el de Nico es pagar lo menos posible.

usuario250

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Re: Nacional 2004 - N1 P3

Mensaje sin leer por usuario250 » Lun 21 Oct, 2019 5:33 pm

Este fue el primer problema que expuse en un Nacional de OMA.
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Peznerd
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Re: Nacional 2004 - N1 P3

Mensaje sin leer por Peznerd » Mar 05 Nov, 2019 11:48 pm

¿Un ayudín? :mrgreen:
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$$21, 14, 8, 1, 19, 3, 16, 6, 13, 10, 9, 11, 12, 5, 17, 4, 18, 2, 7, 15, 20$$
Puse los grandotes en las puntas, el $1$ y el $2$ escoltándolos en las posiciones $4$ y $21-4$ para bajar el promedio con los dos grandotes pero que cuenten para $4$ promedios. El resto fue medio como me pareció más lindo, intentando distribuir un poco la cosa... Creo que me quedó bien, veo que hay muchas sumas iguales a $44$ y ese es el valor máximo en mi lista.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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Évarist_Galois
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Re: Nacional 2004 - N1 P3

Mensaje sin leer por Évarist_Galois » Dom 01 Mar, 2020 11:09 pm

Spoiler: mostrar
Llamo a los 4 primeros números: $a$, $b$, $c$ y $d$; $k$ será la menor suma de esos números.

Como $k$ es la menor suma y el resto de sumas deben ser cercanas a $k$ (porque, de lo contrario, Nico debería pagar más), se puede deducir que el siguiente número de la lista deberá ser $a+1$. De esta manera, $b+c+d+a+1=k+1$ será la segunda menor suma. Entonces, para compensar, el siguiente número debe ser $b-1$. Continuando con la misma estrategia, siguen los números: $c+1$, $d-1$, $a+2$, ..., $d-4$, $a+5$.

Con esta distribución, la suma de todos los números es $5k+a+5$, que como sabemos debe ser igual a $1+2+3+...+21=231$. Entonces:

$5k+a+5=231$
$5k+a=226$

de donde los valores posibles de $a$ y $k$ son:

$a=1$ y $k=45$
$a=6$ y $k=44$
$a=11$ y $k=43$
$a=16$ y $k=42$

Nos quedamos con la última. que arroja la menor suma, por lo que $a=16$, $a+1=17$, ..., $a+5=21$, dejando los números del $1$ al $15$ para distribuir entre $b$, $c$, $d$, $b-1$, $c+1$, $d-1$, ..., $d-4$

Ahora queda encontrar $b$, $c$ y $d$.

Sabemos que entre $b$ y $b-4$ hay $5$ números consecutivos, al igual que ocurre con $c$ y $c+4$, como con $d$ y $d-4$. Como disponemos de $15$ números consecutivos, los números del $1$ al $5$ deben pertenecer a una de las tres letras, los del $6$ al $10$, a otra, y los restantes a la tercera. Una forma posible es $b=5$, $c=6$ y $d=15$, que genera el siguiente ordenamiento:

$$16, 5, 6, 15, 17, 4, 7, 14, 18, 3, 8, 13, 19, 2, 9, 12, 20, 1, 10, 11, 21$$

La menor suma es $43$.

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