Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NJ NM P3

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Joacoini

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Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NJ NM P3

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 29 Oct, 2019 12:21 am

Se tienen $100$ monedas todas del mismo aspecto, de tres tipos: oro, plata y bronce. Hay por lo menos una moneda de cada tipo. Cada moneda de oro pesa $3g$, cada moneda de plata pesa $2g$ y cada moneda de bronce pesa $1g$. Mostrar cómo se puede determinar de qué tipo es cada moneda utilizando no más de $101$ veces una balanza de dos platos exclusivamente. (La balanza de dos platos indica cuál de los dos objetos colocados en sus dos platos es más pesado o si son de igual peso.)
NO HAY ANÁLISIS.

BrunZo

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Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2019 - NJ NM P3

Mensaje sin leer por BrunZo » Sab 11 Ene, 2020 7:39 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Asumo que se pueden poner dos o más monedas en un mismo plato, aunque no se aclare.

Lo primero y principal a notar, es que si ya hallamos un conjunto de monedas que pese $2$, podemos determinar con una pesada el peso de cualquier moneda (ya que podemos pesar el conjunto de peso $2$ con la moneda en cuestión, y cada una de las tres posibles respuestas de la balanza corresponde a un peso de la moneda).
Ahora, vamos a ordenar las monedas en fila y las numeramos del $1$ al $100$. Digamos que la moneda $i$ pesa $p_i$.
Empezamos a pesar $1$ con $2$, $1$ con $3$, $1$ con $4$ y así hasta conseguir las primeras dos pesas $x\leq y$ de modo que $p_1\neq p_x$ y $p_1\neq p_y$ (es decir, que todas las pesas entre $1$ e $y$ exceptuando $x$ pesan lo mismo que $1$). Ya hicimos $y-1$ pesadas.

Caso i: $p_1<p_x$ y $p_1>p_y$ o vicecersa.
Este caso es sencillo, ya que implica que $p_x>p_1>p_y$, es decir que estos pesos son $3$, $2$ y $1$ respectivamente. Con esto, ya hallamos el peso de todas las monedas entre $1$ e $y$ (recordemos que las que no son ni $x$ ni $y$ pesan lo mismo que $1$, es decir, pesan todas $2$). Con esto y la observación inicial vemos que podemos determinar el peso de las otras $100-y$ monedas usando sólo $100-y$ pesadas, es decir, $99$ pesadas en total (nos sobraron y todo).

Caso ii: $p_1>p_x$ y $p_1>p_y$.
En este caso, pesamos $p_x$ con $p_y$.
Casito a: $p_x>p_y$ o viceversa.
En este caso, vale que $p_1>p_x>p_y$, por lo que son $3$, $2$ y $1$ y terminamos con $100$ pesadas haciendo lo mismo que antes.
Casito b: $p_x=p_y$.
En este caso, veamos que hay sólo tres posibilidades: $p_1=2$ y $p_x=p_y=1$, $p_1=3$ y $p_x=p_y=1$, y $p_1=3$ y $p_x=p_y=2$. Propongo esta pesada que nos permite determinar en que caso estamos: Pesar $p_1$ con $p_x$ y $p_y$ juntos. Notemos que cada posible estado de la balanza corresponde con uno de los casos (el primero con $p_1=p_x+p_y$, el segundo con $p_1>p_x+p_y$ y el tercero con $p_1<p_x+p_y$). Entonces, ya hallamos los pesos de todas las monedas entre $1$ e $y$ usando sólo $y+1$ pesadas, y ya tenemos asegurado un grupito de peso total $2$, por lo que terminamos como en los casos anteriores con $101$ pesadas y listo.

La verdad, es que el enunciado es ambiguo en esto:
Joacoini escribió:
Mar 29 Oct, 2019 12:21 am
La balanza de dos platos indica cuál de los dos objetos (¿objeto es "moneda" o "conjunto de monedas"?) colocados en sus dos platos es más pesado o si son de igual peso.
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