Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 2

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Monazo

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Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 2

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 14 Nov, 2019 10:22 am

Se tiene un tablero de $7\times 7$. Julián colorea $29$ casillas de negro. Luego, Pilar debe colocar sobre el tablero un codo que tapa exactamente tres casillas como las de la figura (orientado de cualquier manera). Si las tres casillas que tapa el codo son negras, gana Pilar.
Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 2.png

Determinar si Julián puede realizar la coloración de modo que a Pilar le resulte imposible ganar.
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Turko Arias

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Re: Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 2

Mensaje sin leer por Turko Arias » Jue 14 Nov, 2019 12:21 pm

Una fiesta de solución :D :D :D
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Partimos el tablero en cuatro tableritos de $2 \times 7$ y uno de $1 \times 7$.
Tablero n2.jpg
Si en cada tablerito la cantidad de fichas pintadas es a lo sumo $7$, entonces la cantidad total de casillas pintadas es a lo sumo $28$, por lo que tiene que haber algún tablerito de $2 \times 7$ que tenga pintadas al menos $8$ casillas. Es fácil ver que si un tablero tiene pintadas $9$ casillas o más, siempre va a haber una $L$, luego podemos afirmar que debería haber algún tablerito con $8$ casillas pintadas.
Notamos que si de una misma columna de un tablerito pintamos $2$ ambas casillas, entonces sus columnas vecinas no pueden ser pintadas. Por lo que, o bien se pinta como mucho una casilla por tablerito (lo que hace que haya como mucho siete casillas pintadas por tablerito, pero esto NO lo queremos), o bien se pinta
$\begin{array}{|c|c|} \hline
\blacksquare & & \blacksquare & & \blacksquare & & \blacksquare \\ \hline
\blacksquare & & \blacksquare & & \blacksquare & & \blacksquare \\ \hline
\end{array}$
Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que el tablerito que tiene ocho casillas pintadas, tiene exactamente abajo al tablerito de $1 \times 7$ (ya que de no ser así, podemos partir el tablero inicial de otra manera, para que eso suceda). Notamos que si el tablero de $2 \times 7$ está pintado como el de arriba, entonces la fila que tiene exactamente abajo va a tener como máximo pintadas cuatro casillas, ya que de lo contrario se formaría una $L$... Pero entonces... En este caso, en cada uno de los tableritos de $2 \times 7$ hay como máximo $8$ casillas pintadas, y en el tablerito de $1 \times 7$ hay como máximo $4$ pintadas! Por lo tanto, en este caso, también hay como máximo $28$ casillas pintadas! Luego, en cualquier caso, si queremos que no haya ninguna $L$, hay como máximo $28$ casillas pintadas, pero como Julián va a pintar $29$, gana Pilar :o
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Fran5

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Re: Nacional 2019 - Nivel 2 - Problema 2

Mensaje sin leer por Fran5 » Sab 16 Nov, 2019 7:30 pm

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