Rafa piensa un número de $4$ dígitos $ABCD$, lo multiplica por $3$, $5$ y $7$ y obtiene $3$ números de $5$ dígitos. Escribe las cuentas en el pizarrón y luego borra los resultados dejando solo algunos dígitos.
¿Cuál es el número $ABCD$ que pensó Rafa? Dar todas las posibilidades.
Mateclubes 2019 - Nivel 2 - Problema 1 .png
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Sea $\overline{ABCD}$ el número formado por los cuatro dígitos $A$, $B$, $C$ y $D$.
Como $\frac{36000}{3}=12000$ y $\overline{ABCD}$ es de cuatro cifras resulta que $3\cdot\overline{ABCD}<36000$. En particular nos interesa notar que $26000\leq3\cdot\overline{ABCD}\leq26999$ y/o $16000\leq\overline{ABCD}\leq16999$ de donde al dividir por $3$ llegamos a $8667\leq\overline{ABCD}\leq8999$ y/o $5334\leq\overline{ABCD}\leq5666$ y por lo tanto $A$ es $8$ o $5$. Pero como $8000\cdot5=40000\leq5\cdot\overline{ABCD}\leq8999\cdot5=44995$ que nunca tiene el $6$ en las unidades de mil, terminamos en que $A=5$.
Sabemos ahora que $3\cdot\overline{5BCD}=16---$ y $5\cdot\overline{5BCD}=26---$, por lo tanto $3\cdot\overline{BCD}$ y $5\cdot\overline{BCD}$ son de la forma $1---$. Razonando como antes $1000\leq3\cdot\overline{BCD}\leq1999$ y $1000\leq5\cdot\overline{BCD}\leq1999$ y al dividir por $3$ y por $5$ llegamos a que $334\leq\overline{BCD}\leq666$ de donde $B=\{3,4,5,6\}$ y que $200\leq\overline{BCD}\leq399$ de donde $B=\{2,3\}$. Como se deben cumplir ambas desigualdades, $B=3$.
Mirando la última cuenta vemos que $7\cdot\overline{53CD}=376--$ por lo que $7\cdot\overline{CD}=5--$. $500\leq7\cdot\overline{CD}\leq599$ entonces $72\leq\overline{CD}\leq85$, es decir que $CD$ puede ser cualquier número entre $72$ y $85$ inclusive.
En conclusión, Rafa puede haber pensado cualquier número entre $5372$ y $5385$ inclusive, que son $5385-5372+1=14$ números posibles. Verifiquemos que se cumple:
$16116\leq3\cdot\overline{ABCD}\leq16155$; $26860\leq5\cdot\overline{ABCD}\leq26925$; $37604\leq7\cdot\overline{ABCD}\leq37695$.
