Rioplatense 2019 - N1 P3

[BrunZo]

Se tiene un tablero cuadriculado de $2019\times 2019$. Hay que cubrir completamente este tablero, sin huecos ni superposiciones, usando únicamente piezas de los siguientes tres tipos:

N1 P3.png

Cada pieza de tipo $A$ o $B$ debe cubrir exactamente $3$ casillas del tablero y cada pieza de tipo $C$ debe cubrir exactamente $4$ casillas del tablero.
Determinar la mínima cantidad total de piezas que se necesitan para cumplir el objetivo.

[FabriATK]

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Hola!
Lo tuve que editar de.
La idea es usar la mayor cantidad de piezas de 4 casillas.
Teniendo eso en cuenta, imaginemos que colocamos una pieza de 4 en una de las esquinas del tablero.
Yo elijo la esquina superior izquierda.
Digamos que ahora voy colocando piezas de 4 abajo y a la derecha de la primera. De esta manera me quedarán tanto abajo como a la derecha 1 casilla libre(ya que 2019 no es divisible por 2; y el múltiplo de 2 más grande que es menor a 2019 es el 2018. Y 2019-2018 = 1).
Digamos que ahora "rellenamos" el cuadrado de 2018 × 2018.
Terminará quedando libre un rectángulo de $1 × 2019$ y otro de $1 × 2018$ (uno de estos estará en vertical y el otro en horizontal). Y sin importar como coloquemos las fichas de 2 × 2 nos quedará 2019 × 1 + 2018 × 1 casillas libres, ya que no es posible colocar más. Ahora sólo deberemos rellenar estos rectangulos con fichas de $1 × 3$. Digamos que tenemos uno de los rectángulos con una base de 2019 y una altura de 1. Sólo debemos colocar 2019/ 3 fichas de base 3 y altura 1. Ahora falta rellenar el rectángulo de 2018 × 1. Como 2018 no es divisible entre 3, esto no será posible. Por lo que ahora intentamos sacar una ficha de 2 × 2 y en su lugar ponemos 2 de 1 × 3. En la foto se muestra esto.
Ahora quedan 2018 - 2 = 2016 lugares libres. Y como 2016 Es divisible entre 3, ahora sólo rellenamos las casillas que quedan con fichas de 3.
Como dije antes, hemos puesto la mayor cantidad posible de fichas de $2 × 2$, por lo que hemos minimizado tanto como es posible la cantidad de fichas.
Ahora, la cantidad mínima de fichas es 2018 × 2018 / 4 - 1 + 2019/ 3 + 2016 3 + 2= 1,019,427.

[Monazo]

Hola que tal @FabriATK!
Como primer consejo, recomiendo fuertemente que uses la opcion de spoiler, para escribir tus soluciones en este formato:

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Aca va la solucion

Eso es para aquel que quiera pensar el problema, las soluciones aparezcan “escondidas” y asi no le queman ninguna idea.

Segundo, tenes un pequeño detalle en tu solucion, en realidad fijate que si podes seguir metiendo fichas cuadradas, porque son de $2\times 2$ en vez de $4\times 4$. Asi que chequea bien eso.

[FabriATK]

Hola! Tenes razón, me confundí xd
Cómo Pongo la opción spoiler?

[NPCPepe]

FabriATK, es con
[spoile]
lo que quieras escribir
[/spoile]
pero con la r

también arriba hay botones que dicen center imgp spoiler, si tocas spoiler aparece solo

mi solución:

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Para poner la menor cantidad de piezas, se necesita poner la mayor cantidad de piezas $2x2$ ya que ocupan $4$ casillas mientras que las otras ocupan solo $3$

La mayor cantidad de cuadrados $2x2$ que entran en un tablero $2019x2019$ son: $\frac{2018^2}{4}$ ya que si tomamos un corte del tablero con forma de "L" de $2$ de ancho y $2019$ en cada lado, hay como máximo $1008+1008+1$ cuadrados $2x2$, ya que hay dos rectángulos $2017x2$ y uno $2x2$, si ponemos una "L" arriba, hay como máximo $1007+1007+1$, si seguimos así queda un solo cuadradito $1x1$ arriba de la última "L", es decir 0 de $2x2$ entonces $1=1^2$, $1+3=2^2$, y así hasta $1009$, entonces quedan $1009^2$ cuadraditos $2x2$ como máximo,

$1009^2$ no es múltiplo de 3 así que no se puede completar con las otras piezas, pero $1009^2-4$ si es múltiplo de 3, y hay un ejemplo:
(la imagen muestra solo una esquina)

rioplatense1.jpg

Entonces el total de piezas es: $1009^2+2*\frac{2019-3}{3}+3=1019428$