Rioplatense 2019 NA P4

[tuvie]

Para anotar la fecha de nacimiento escribimos tres números de esta manera: $DD/MM/AA$, donde $DD$ indica el dia, $MM$ indica el mes y $AA$ indica los dos últimos dígitos del año. Por ejemplo, si la fecha es $3$ de mayo de $1914$ escribimos $03/05/14$, donde $DD = 03,~MM = 05$ y $AA = 14$.
Determinar, entre el $1$ de enero de $1900$ y el $31$ de diciembre de $1999$, en cuantos casos ocurre que la suma de dos de estos números es igual al tercero, es decir:
$$DD + MM = AA,~\text{o}~DD + AA = MM,~\text{o}~MM + AA = DD.$$

[Gabriel Bernal]

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Contemos cuántos días cumplen $DD+MM=AA$. Hay $365$ posibles valores de $DD$ y $MM$ y para cada uno de ellos hay exactamente un año que cumple.

$DD+AA=MM$ se cumple sólo si $DD\leq11$. Por ende para $DD=1$ hay 11, para $DD=2$ hay 10, y así, esto es $\frac{11\times12}{2}=66$.

Para $MM+AA=DD$ notemos que hay $12$ posibles valores de $MM$ y $31$ de $DD$. Para $MM=1$ hay $30$, para $MM=2$ hay $29$, y así, esto es $\frac{30\times31}{2}-\frac{18\times19}{2}=294$. Restando los cuatro meses de $30$ y febrero de $28$ tenemos $287$.

Sumando tenemos $365+66+287=719$ pero hay que ver dos cosas:

* Es posible que haya días contados más de una vez. veamos los tres posibles casos:
- $DD+MM=AA$ y $DD+AA=MM$, por lo que $MM=AA-DD=AA+DD$ y $DD=-DD$ que es un absurdo que parte de suponer que existe un día que cumple ambas condiciones.
- $DD+MM=AA$ y $MM+AA=DD$ por lo que $DD=AA-MM=AA+MM$ y $MM=-MM$ que es un absurdo que parte de suponer que hay un día que cumple ambas condiciones.
-$DD+AA=MM$ y $MM+AA=DD$ por lo que $MM=DD+AA=DD-AA$ por lo que $AA=-AA$ que se cumple cuando $AA=0$. Por ende todos los casos con $AA=0$, que son $12$ porque se debe cumplir $DD=MM$ están contados dos veces.

* Los años bisiestos son los múltiplos de $4$ (a excepción de los múltiplos de $100$ que también tienen que ser múltiplo de $400$ pero eso no importa acá). En los años no bisiestos no existe $DD=29$ y $MM=2$. En el caso $DD+MM=AA$, $AA=31$ que no es bisiesto; en el caso $DD+AA=MM$, $AA$ no existe; en el caso $MM+AA=DD$, $AA=27$ que no es bisiesto. Entonces no hay que sumar nada porque no los contamos.

Al final hay $719-12=707$ casos.