Torneo de las Ciudades - Marzo 2020 - NJ P2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020
Mensajes: 356
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 7
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Torneo de las Ciudades - Marzo 2020 - NJ P2

Mensaje sin leer por Joacoini » Mié 11 Mar, 2020 3:20 pm

Tres caballeros legendarios pelean contra un dragón de varias cabezas. Cada vez que el primer caballero ataca, corta la mitad de las cabezas que hay en ese momento, más una cabeza más. Cada vez que el segundo caballero ataca, corta un tercio de las cabezas que hay en ese momento, más dos cabezas más. Cada vez que el tercer caballero ataca, corta un cuarto de las cabezas que hay en ese momento, más tres cabezas más. Ellos atacan repetidamente, en un orden arbitrario, de manera que en cada etapa se cortan un número entero de cabezas. Si no se pueden organizar para que los tres caballeros hagan sus cortes porque no da entero el número de cabezas a cortar, entonces el dragón petrifica a los tres caballeros y la batalla finaliza. ¿Podrán los caballeros cortar todas las cabezas del dragón si este tiene $41!$ cabezas?

Nota: $41!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 41$ es la multiplicación de los enteros desde $1$ hasta $41$.
NO HAY ANÁLISIS.

Avatar de Usuario
enigma1234

OFO - Medalla de Oro-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2019 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020
Mensajes: 103
Registrado: Sab 03 Jun, 2017 8:07 pm
Medallas: 4
Nivel: 2

Re: Torneo de las Ciudades - Marzo 2020 - NJ P2

Mensaje sin leer por enigma1234 » Vie 17 Abr, 2020 7:42 pm

Spoiler: mostrar
Veamos por inducción fuerte que si el dragón tiene un número par de cabezas los caballeros pueden cortar todas las cabezas del dragón. Sea $2n$ la cantidad de cabezas.
Si el dragón tiene 2 cabezas el primer caballero ataca y corta todas las cabezas.
Ahora supongamos que ellos pueden cortar las cabezas para $2,4,...,2n-2$ cabezas. Veamos que ellos pueden hacerlo para $2n$ cabezas $(n\geq 2)$.
Caso 1: $n$ par($n=2k$)
El tercer caballero ataca y corta $k+3$ cabezas,de esto quedan $3k-3$ cabezas. Si $k=1$ ellos ya ganan en este caso. Si $k\geq 2$, luego ataca el segundo caballero y corta $k-1+2$ cabezas, es decir quedan $2k-4$ cabezas. Como $2k-4=n-4<n\leq 2n-2$ y es par por lo tanto por la hipotesis es posible lograrlo.
Caso 2: $n$ es impar($n=2k-1, k\geq 2$)
El primer caballero ataca y corta $2k-1+1$ cabezas, esto es quedan $2k-2$ cabezas y como $2k-2<n\leq 2n-2$ por la hipótesis es posible.

De esto la inducción esta completa, como $41!$ es par entonces los caballeros pueden cortar las cabezas.

Responder