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Torneo de las Ciudades - Marzo 2020 - NJ P6

Publicado: Mié 11 Mar, 2020 3:45 pm
por Joacoini
Ana tiene un mazo de $36$ cartas con $4$ palos de $9$ cartas cada uno. Ella elige $18$ cartas y le da las restantes a Beto. Luego, en cada turno, Ana pone una de sus cartas boca arriba sobre la mesa y, a continuación, Beto pone una de sus cartas boca arriba sobre la mesa; las dos cartas jugadas ya no vuelven al juego. Si las dos cartas son del mismo palo o son del mismo número, Beto gana un punto. ¿Cuál es la máxima cantidad de puntos que Beto se puede asegurar, no importa cómo juegue Ana?

Re: Torneo de las Ciudades - Marzo 2020 - NJ P6

Publicado: Jue 12 Mar, 2020 3:52 pm
por Joacoini
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Llamamos a los palos $A, B, C, D$.
Veamos que Ana puede darle cartas a Beto para que no pueda hacer más de $15$ puntos.

Si le da los números del $1$ al $6$ de los palos $A, B$ y $C$ entonces Ana se queda con $D7$, $D8$ y $D9$ las cuales no se emparejan con ninguna de las cartas de Beto por lo que este no puede hacer más que $15$ puntos.

Ahora veamos que Beto se puede asegurar siempre hacer al menos $15$ puntos.

Para cada uno de los $9$ números puede pasar uno de cinco casos.

Caso 1
Ana tiene las cuatro cartas y Beto ninguna.
La cantidad de números en los que sucede este caso es $a$

Caso 2
Ana tiene tres de las cartas y Beto una.
La cantidad de números en los que sucede este caso es $b$

Caso 3
Ana tiene dos de las cartas y Beto las otras dos.
La cantidad de números en los que sucede este caso es $c$

Caso 4
Ana tiene una carta y Beto tres.
La cantidad de números en los que sucede este caso es $d$

Caso 5
Ana no tienen cartas de ese número y Beto las cuatro.
La cantidad de números en los que sucede este caso es $e$

Podemos eliminar un Caso 1 con un Caso 5 al Beto jugar las cartas del mismo palo que tira Ana.

Podemos eliminar un Caso 2 con un Caso 4 de la siguiente forma, hay si o si dos palos los cuales dos cartas de ese palo las tiene Ana y las otras dos Beto así que esas las cancelamos entre sí y luego en cada uno de los números Beto tiene una carta y Ana la otra y esas las cancelamos entre sí

Cada vez que sucede el Caso 3, Beto puede conseguir los puntos de sus dos cartas al jugar las cuando Ana tira el mismo número.

Cómo Ana tiene $18$ cartas podemos ver qué
$4a+3b+2c+d=18$
Y viendo lo mismo para Beto
$4e+3d+2c+b=18$
Igualando ambas y despejando llegamos a
$2(a-e)=d-b$

Si $a=e$ entonces podemos cancelar todos los Casos 1 con los Casos 5 y todos los Casos 2 con los Casos 4.

WLOG $a>e$

Cancelamos todos los Casos 5 con los Casos 1 y los Casos 2 con los Casos 4.

Como $2(a-e)=d-b$ nos quedan algunos Casos 1 y el doble en Casos 4.

Veamos que usando las cartas de un Caso 1 y de dos Casos 4 podemos perder como mucho un punto, si las dos cartas que tiene Ana en los Casos 4 coinciden en palo entonces la carta de Ana que tiene el mismo palo que las de los Casos 4 no la podés emparejar con una de Beto de los Casos 4 por lo que ahí se pierde un punto.
Si las dos cartas que tiene Ana en los Casos 4 no coinciden entonces Beto puede emparejar sus cartas con las de Ana de la siguiente manera (fila mismo número y columna mismo palo)
IMG_20200312_154424.jpg
Teniendo en cuenta que $4a+3b+2c+d=18$ y $2(a-e)=d-b$ tenemos que $a-e\leq 3$ (sino $a\geq 4$ y $d\geq 8$ y contradice la primera formula) por lo que nos pueden quedar como mucho tres Casos 1 y seis Casos 4 los cuales los podemos separar en tres grupos de un Caso 1 y dos Casos 4 dónde perdemos como mucho un punto en cada grupo así que Beto se puede asegurar ganar $15$ puntos.