Zonal 2005 N1 P1

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Gianni De Rico

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Zonal 2005 N1 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Se escriben los números enteros positivos desde $1$ hasta $1000$, uno a continuación del otro, sin espacios intermedios. Queda así una larga secuencia de dígitos (el primero es $1$ y el último es $0$):$$123456789101112\ldots 9989991000.$$Determinar cuántos dígitos se han escrito hasta que se escriben por primera vez tres $9$ seguidos.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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Luli97

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Re: Zonal 2005 N1 P1

Mensaje sin leer por Luli97 »

Spoiler: mostrar
Veamos primero cuándo es la primera vez que aparecen tres $9$ seguidos:
Entre los números de $1$ cifra, es imposible, ni siquiera tomando el $9$ que es el último y el primer número de $2$ cifras, que es el $10$. Entre los números de $2$ cifras, debería tomar el $99$ y el anterior (que es $98$, así que no) o el siguiente (que es $100$, así que tampoco). Entre los números de $3$ cifras, podría ser el $999$, pero ¿hay alguno antes?
  • Si tomamos los últimos $2$ dígitos de un número y el primero de otro, deberían ser: $899$ y $900$.
  • Si tomamos el último dígito y los primeros $2$ del otro, deberían ser: $989$ y $990$.
Por lo tanto, la primera vez que aparecen tres $9$ seguidos es entre el $899$ y el $900$. Contemos entonces cuántos dígitos hay escritos hasta este momento.

Números de $1$ dígito: hay $9$ y tienen $9$ dígitos en total.

Números de $2$ dígitos: hay $90$ y tienen $2 \cdot 90=180$ dígitos en total.

Números de $3$ dígitos menores que $900$: hay $800$ (esto es $899$ menos los $99$ que son de $2$ dígitos o menos) y tienen $3 \cdot 800=2400$ dígitos en total.

En total tenemos $9+180+2400+1=2590$ dígitos escritos, incluyendo los primeros tres $9$ consecutivos que pertenecen a los números $899$ y $900$.

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