Cono Sur 2020 - P6

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Fran5

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Cono Sur 2020 - P6

Mensaje sin leer por Fran5 »

Un tablero cuadrado de $4 \times 4 $ se llama brasuca si verifica todas las condiciones siguientes:
  • cada casilla tiene uno de los números $0, \: 1, \: 2, \: 3, \: 4,$ o $5$;
  • la suma de los números de cada fila es $5$;
  • la suma de los números de cada columna es $5$;
  • la suma de los números de cada diagonal de cuatro casillas es $5$;
  • el número escrito en la casilla superior izquierda del tablero es menor o igual que los otros números del tablero;
  • al dividir el tablero en cuatro cuadrados de $2 \times 2$, en cada uno de ellos la suma de los cuatro números es $5$.
¿Cuántos tableros brasucas hay?
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
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Sandy

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Re: Cono Sur 2020 - P6

Mensaje sin leer por Sandy »

No me enorgullezco en lo más mínimo y para no hacerlo (tan) tedioso no me meto mucho en los detalles triviales.

Solución:
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Es claro que la casilla superior izquierda no puede ser mayor que $1$ porque las sumas serían mayores que $5$. Sea el siguiente el tablero:
Tablero 1.jpeg
Separaremos entonces en dos casos:
  • $a=0$
Usando las condiciones del enunciado, se puede ver que el tablero es el siguiente:
Tablero 0.jpeg
Luego para que el tablero sea brasuca, sólo necesitamos que cada casilla esté entre $0$ y $5$ inclusive. Esto es equivalente a las siguientes $15$ desigualdades:
$0\leq b\leq 5$
$0\leq c\leq 5$
$0\leq 5-b-c\leq 5$
$0\leq e\leq 5$
$0\leq 5-b-e\leq 5$
$0\leq g\leq 5$
$0\leq b-g\leq 5$
$0\leq 5+g+j-e-b-c\leq 5$
$0\leq j\leq 5$
$0\leq e+b-g-j\leq 5$
$0\leq c-j\leq 5$
$0\leq c+b-g-j\leq 5$
$0\leq e-j\leq 5$
$0\leq 5+j-e-b-c\leq 5$
$0\leq j+g\leq 5$

Les ahorro las cuentitas, pero este conjunto de $15$ desigualdades se cumple si y sólo si se cumple el siguiente conjunto de desigualdades:
$0\leq b,c,e,g,j\leq 5$
$b+e\leq 5$
$g\leq b$
$j\leq e$
$j\leq c\leq 5+j-b-e$

Luego, para cada $(b,e)$ que cumpla las primeras dos desigualdades, habrá $(6-b-e)(b+1)(e+1)$ posibles tableros brasucas.
Sea $S(b,e)=(6-b-e)(b+1)(e+1)$, claramente $S(b,e)=S(e,b)$. Luego la cantidad de tableros brasucas con $a=0$ será: $S(0,0)+S(1,1)+S(2,2)+2\left(S(0,1)+S(0,2)+S(0,3)+S(0,4)+S(0,5)+S(1,2)+S(1,3)+S(1,4)+S(2,3)\right)=252$
  • $a=1$
Como $a=1$ y es el menor, es fácil ver que en cada fila, columna, diagonal larga y subtablero de $2\times 2$ hay exactamente tres $1$ y un $2$.
En particular, $(b,c,d)$ y $(e,i,m)$ son permutaciones de $(1,1,2)$ esto es lo más cerca que has estado del Quinto Escalón.
Si $(b,c,d)=(e,i,m)$, entonces la intersección de la fila y columna de los dos $2$ estará sobre la diagonal, dejando $4$ casillas indeterminadas como en el siguiente ejemplo con $(b,c,d)=(e,i,m)=(2,1,1)$:
Tablero 1,2.jpeg
Pero tenemos que, o bien hay dos $2$ en la diagonal larga que contiene a $a$, o bien no hay ninguno, pues en cada fila y columna puede haber uno solo.
Luego $(b,c,d)\neq (e,i,m)$. Es muy fácil de ver que para cualquiera de las $6$ combinaciones posibles hay un sólo tablero brasuca, lo que nos da $6$ tableros posibles con $a=1$.
Respuesta:
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$252+6=258$
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1  
Fallo inapelable.
BrunZo

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Re: Cono Sur 2020 - P6

Mensaje sin leer por BrunZo »

Spoiler: mostrar

Digamos que el número superior izquierdo es $x$. Claramente $x$ es 0 ó 1. Como todos los números son mayores o iguales a $x$, podemos restar $x$ de cada número y tendríamos que cada una de las sumas es $5-x$ y que los números están entre $0$ y $5-x$. Digamos que $n=5-x$ y resolvamos el problema cambiando el $5$ por cualquier natural $n$ (solo que ahora, la casilla sup izq es 0).

Vamos a ponerle nombres a las casillas:

$\begin{array}{c c c c}
0 & x_1 & x_2 & x_3 \\
x_4 & x_7 & a & b \\
x_5 & d & x_8 & c \\
x_6 & e & f & x_9
\end{array}$

Notemos que las casillas quedan divididas en "datos" $a$, $b$, $c$, etc. e "incógnitas" $x_i$. Supongamos que el tablero es brasuca y empecemos a hacer deducciones:

Primero que nada, como las cuatro filas (o columnas) suman $n$, la suma de todos los números del tablero es $4n$.
Mirando la fila, columna y diagonal que pasan por el $0$, vemos que la suma de las variables $x_i$ es $3n$.
Restando, $a+b+c+d+e+f=n$. (*)

Hasta ahora vimos que si el tablero es brasuca, entonces vale (*). Veamos ahora que si se cumple (*), existe una y solo una forma de completar el tablero brasuca. Vamos a hacerlo despejando valores:

Mirando fila superior y 2x2 superior derecho, tenemos $x_1=a+b$.
Mirando columna izquierda y 2x2 inferior izquierdo, tenemos $x_4=d+e$.
Mirando diagonal \ (la que tiene al 0) y el 2x2 inferior derecho, tenemos $x_7=c+f$.

Sumando las dos diagonales, las dos columnas centrales y restando las filas superior e inferior obtenemos que el doble de la suma del 2x2 central es $2n$, así que la suma simple es $n$.
Entonces, mirando el 2x2 y la diagonal \, tenemos que $x_9=a+d$.

Como $x_7+x_8+x_9=n$ (diagonal \), despejamos $x_8=b+e$ (usamos los valores de $n$, $x_7$ y $x_9$ que habíamos obtenido).
Como $x_5+x_8+c+d=n$ (3ra fila), queda $x_5=a+f$. Similarmente $x_2=c+d$ (mirando 3ra columna).
Como $x_6+x_9+e+f=n$ (4ta fila), queda $x_6=b+c$. Similarmente $x_3=e+f$ (mirando 4ta columna).

Como los valores despejados son suma de dos de los datos $a$, $b$, ..., todos ellos serán positivos y ninguno se excederá de la suma de todos, que es $n$. Por lo tanto, los valores despejados son únicos y válidos. De esta forma probamos que cada tablero se corresponde a cada elección de los datos que cumpla $a+b+c+d+e+f=n$.

Entonces, queremos contar cuántas formas hay elegir 6 números que sumen $n$. Podemos considerar que tenemos $n$ puntos puestos en línea y elegimos la posición de 5 barreras que dividan a los $n$ puntos en 6 grupos. La cantidad que haya en el 1er grupo será $a$, la del 2do $b$, etc. Pero esto último es lo mismo que la cantidad de formas de ordenar en una misma fila $n$ puntos indistinguibles y 5 barreras indistinguibles, que es $\binom{n+5}{5}$ (elegir las 5 posiciones donde estarán las barreras).

Tenemos entonces, sumando para $x=0$ y para $x=1$: $\binom{6}{5} + \binom{10}{5} = 252 + 6 = 258$.
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