FOFO 9+1 Años - Problema 1

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Monazo

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FOFO 9+1 Años - Problema 1

Mensaje sin leer por Monazo »

Masli tiene $2$ dados, uno azul y otro blanco, donde cada dado tiene un total de $2020$ caras, con los números del $1$ al $2020$. Masli lanza los $2$ dados al mismo tiempo y escribe en el pizarrón el máximo de los dos dados.

¿De cuántas formas puede encontrarse la configuración final de los dados de manera tal que el número escrito por Masli sea par?
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Monazo

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Re: FOFO 9+1 Años - Problema 1

Mensaje sin leer por Monazo »

Solución Oficial

Última edición por Monazo el Jue 24 Dic, 2020 4:34 pm, editado 2 veces en total.
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joa.fernandez

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Re: FOFO 9+1 Años - Problema 1

Mensaje sin leer por joa.fernandez »

Solución:
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Aclaración: llamo como ganadoras a las configuraciones en que el número escrito por Masli es par.

Tomemos alguno de los dos dados. Sin pérdida de la generalidad, nos agarramos el blanco.
Si el número que sale en este, digamos $i$, es impar, las ganadoras se dan cuando el número del otro dado es par y mayor a $i$, es decir, los números pares mayores a $i$ y menores o iguales a $2020$:
$\dfrac{2020 - (i-1)}{2}$, y como $i$ es impar, lo representamos como $2k+1$. Ahora, sumando para todo $i$:
$\sum_{i=0}^{1009} (\dfrac{2020 - ((2i+1)-1)}{2}) = \sum_{i=0}^{1009} (\dfrac{2020 - (2i)}{2}) = \sum_{i=0}^{1009} (1010-i)=\sum_{i=1}^{1009} (1010-i) + 1010$.
Ahora, si el número que sale en el dado blanco, digamos $i$, es par, es claro que para todo número menor o igual a $i$, son ganadoras. También son ganadoras cuando sale un número par mayor a $i$ en el otro dado, y estos son los números pares mayores a $i$ y menores o iguales a $2020$. Luego, para cada $i$ par, las ganadoras son:
$i + \dfrac{2020 - (i)}{2}$, y como $i$ es par, lo representamos como $2k$. Ahora, sumando para todo $i$:
$\sum_{i=1}^{1010} (2i + \dfrac{2020 - (2i)}{2}) = \sum_{i=1}^{1010} (2i + 1010 - i) = \sum_{i=1}^{1010} (1010 + i) = \sum_{i=1}^{1009} (1010 + i) + 2020$.
Por lo tanto, el total de ganadoras será:
$\sum_{i=1}^{1009} (1010 + i) + 2020 + \sum_{i=1}^{1009} (1010-i) + 1010 = 3030 + 2\cdot 1009 \cdot 1010 = 2041210$.

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Sandy

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Re: FOFO 9+1 Años - Problema 1

Mensaje sin leer por Sandy »

Solución:
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Hay $2020$ configuraciones en las que sale el mismo número en ambos dados, de las cuales sólo $1010$ nos sirven. Asumiremos de ahora en más que en el dado blanco sale un número mayor que en el azul, pues el otro caso es simétrico. Para cada $2k$ que salga en el blanco, en el azul cualquier número entre $1$ y $2k-1$ nos sirve, luego en total hay $1010+2\sum_{k=1}^{1010}2k-1=1010+4\times \frac{1010\times 1011}{2}-2\times 1010=2041210$ configuraciones, que pueden encontrarse de $4$ maneras distintas, dependiendo de si el dado azul, el dado blanco, ambos o ninguno se caen debajo de la cama.
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$u=tan\left(\frac{x}{2}\right)$
$\frac{2}{1+u^2}du=dx$

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Monazo

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Re: FOFO 9+1 Años - Problema 1

Mensaje sin leer por Monazo »

Publicada la Solución Oficial del Problema 1!
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