Selectivo de IMO 2021 - Problema 1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Monazo

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Selectivo de IMO 2021 - Problema 1

Mensaje sin leer por Monazo »

Se tiene un tablero de $21\times 100$ y $2100$ fichas. Bruno coloca $n$ de las fichas, una en cada casilla, y a continuación quiere completar el tablero con el siguiente procedimiento: en cada movida, coloca una nueva ficha en una casilla vacía que tenga por lo menos dos casillas vecinas que ya tengan ficha. Determinar el menor valor de $n$ para el cual Bruno puede lograr el objetivo.
ACLARACIÓN. Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.
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Joacoini

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Re: Selectivo de IMO 2021 - Problema 1

Mensaje sin leer por Joacoini »

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Que enunciado aburrido, mejor trabajemos con esto.

En tu mundo de Minecraft quieres construir una pileta de $21\times 100$ bloques, como no tenes ganas de utilizar $2100$ baldes de agua te preguntas cual es la menor cantidad de bloques de agua que necesitas utilizar para que la pileta este llena de bloques enteros de agua.

Veamos que hay $4$ formas en la que un bloque se puede llenar de agua.
2021-04-15_23.24.21.png
Si prestamos atención a los lados de los bloques de agua (mirarlos como cuadrados desde arriba) que tienen contacto con uno de aire y llamamos $A$ a esta cantidad podemos notar que al llenarse uno de los bloques rojos con agua $A$ se reduce o mantiene, ¿Por qué? Bueno, lo que sucede es que al llenarse el bloque con agua se pierden al menos $2$ lados de contacto con el aire y estamos ganando $4-$lo que perdemos, así que los diferentes casos son perder $4$ ganar $0$, perder $3$ ganar $1$ o perder $2$ y ganar $2$.

Ahora que sabemos que $A$ se mantiene o reduce sabemos que $A_{inicial}\geq A_{final}$ pero $A_{final}$ es cuando la pileta esta llena por lo tanto es el perímetro de esta, $A_{final}=21\times 2+100\times 2=242$.
Al inicio al ubicar los primeros bloques de agua estos tienen como mucho 4 lados en contacto con el agua por lo que si arrancamos con $60$ cubos o menos tenemos que $A_{inicial}\leq 60\times 4=240$.

Ahora solo nos falta encontrar un ejemplo con $61$ cubos.
2021-04-15_23.34.16.png
En este lo que hacemos es una diagonal de $21$ cubos y luego vamos hacia la derecha intercalando bloques de aire y agua excepto en la ultima columna donde ubicamos un bloque más de agua y gastamos $40$ cubos más.

Si quieres ver como se llena la pileta anda a la sección de memes del discord del nacional Archivo demasiado pesado.
Creditos a Mini por la idea.
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