Primer pretorneo 2021 Nivel mayor: Problema 4

[Fedex]

Hay $101$ monedas ubicadas alrededor de una circunferencia y cada moneda pesa $10\text{ g}$ u $11\text{ g}$. Demostrar que existe una moneda tal que el peso total de las $k$ monedas a su izquierda es igual al peso total de las $k$ monedas a su derecha para:
$a)$ $k=50$.
$b)$ $k=49$.

[Santi's AI]

Respondiendo únicamente al caso K=50:

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Sabemos que en la circunferencia se dará una de las siguientes dos opciones, ya que hay 101 monedas en total:
- Una cantidad par de monedas que pesan 10g e impar de monedas que pesan 11g
- El caso inverso

Entonces, sin prestar atención al peso de cada una, llamemos "X" a cada moneda con un determinado peso e "Y" a cada moneda con el otro peso.
Sabemos que habrá una cantidad impar de X, entonces el procedimiento consiste en numerar en orden consecutivo todas las monedas que aparecen una cantidad impar de veces (supongamos que tenemos una cantidad "Z" de X, entonces numeramos todas las X desde 1 hasta Z).
Luego, teniendo numeradas esas monedas, tomaremos como moneda de referencia la que esté ubicada en la posición
(Z+1)/2 (disculpen que no sepa escribir en LaTeX aún).
Tomando esa moneda como referencia, entonces tanto a la izquierda como a la derecha de ésta tendremos una cantidad
(Z+1)/2 - 1 de monedas X, y
50 - [(Z+1)/2 - 1] de monedas Y.

Entonces, sin importar el peso de cada X e Y, podremos proceder de esta forma y siempre se logrará el objetivo para K=50.

[Gianni De Rico]

Respondiendo únicamente al caso K=50:

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Sabemos que en la circunferencia se dará una de las siguientes dos opciones, ya que hay 101 monedas en total:
- Una cantidad par de monedas que pesan 10g e impar de monedas que pesan 11g
- El caso inverso

Entonces, sin prestar atención al peso de cada una, llamemos "X" a cada moneda con un determinado peso e "Y" a cada moneda con el otro peso.
Sabemos que habrá una cantidad impar de X, entonces el procedimiento consiste en numerar en orden consecutivo todas las monedas que aparecen una cantidad impar de veces (supongamos que tenemos una cantidad "Z" de X, entonces numeramos todas las X desde 1 hasta Z).
Luego, teniendo numeradas esas monedas, tomaremos como moneda de referencia la que esté ubicada en la posición
(Z+1)/2 (disculpen que no sepa escribir en LaTeX aún).
Tomando esa moneda como referencia, entonces tanto a la izquierda como a la derecha de ésta tendremos una cantidad
(Z+1)/2 - 1 de monedas X, y
50 - [(Z+1)/2 - 1] de monedas Y.

Entonces, sin importar el peso de cada X e Y, podremos proceder de esta forma y siempre se logrará el objetivo para K=50.

Ojo, la idea está bien, pero le falta algo para poder terminarla

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Suponete que empiezo a numerar las monedas del $1$ al $101$ desde la que está "más arriba". Si las monedas desde la $1$ a la $25$ son $X$, las monedas desde la $26$ a la $75$ son $Y$, y las monedas desde la $76$ a la $101$ son $X$. Básicamente lo que tengo es este dibujo:

Dibujo.png

Entonces hay $51$ monedas $X$, de modo que la moneda que vos estás eligiendo es la $76$, que es la que tendría el número $26$ cuando arrancás a contar las $X$ desde la que tiene el $1$. Esa moneda tiene $50$ monedas $X$ a la derecha y $50$ monedas $Y$ a la izquierda, así que tienen pesos distintos.

¿Cómo arreglamos esto? Bueno, en este caso es muy sencillo, simplemente elegimos la moneda que tiene el $1$ (es decir, arrancamos a contar desde la $76$), esa va a tener $25$ monedas $X$ y $25$ monedas $Y$ a cada lado, así que ya estaríamos.

Lo que está faltando para terminar de cerrar tu solución es justamente esto, ver que siempre podemos elegir bien la moneda desde la que arrancamos a contar, porque si arrancamos contando desde otro lado nos puede dar cualquier cosa, como ya vimos en el ejemplo de antes.

[Santi's AI]

Sí quizás me olvidé de aclararlo pero siempre a la hora de contar se tienen en cuenta solo las monedas de las cuáles aparece una cantidad impar de veces, las que aparecen una cantidad par se dejan de lado, ya que al numerar en orden consecutivo las que son impares entonces la que esté justo en el medio de esas que son impares va cumplir las características que pide ahí la consigna

[Gianni De Rico]

Creo que no me entendiste, voy a tratar de explicarlo con otras palabras.

Suponete que tenemos una moneda de tipo $X$, a la que llamamos $A$ (esa es la que en el dibujo anterior le puse el $1$). Recorriendo en sentido horario tenemos otras $24$ monedas de tipo $X$, después $50$ monedas de tipo $Y$, y por último $26$ monedas de tipo $X$.
Si vos arrancás a numerar las monedas de tipo $X$ desde la $A$ (o sea, esta es la número $1$), entonces como hay $51$ monedas $X$, la que vas a elegir es la número $26$, que es la primera que aparece después de toda la tira de monedas $Y$. El problema es que esta moneda tiene $50$ monedas $X$ a la derecha y $50$ monedas $Y$ a la izquierda, así que la moneda no cumple lo pedido.

Lo que tenés que demostrar es que hay una moneda desde la que podés empezar a contar y que tu estrategia funcione.

Creo que parte del problema es que no hay una noción intuitiva de la "moneda del medio" en general cuando estás en una circunferencia. Si están todas juntas (como en el ejemplo que di yo), entonces sí, pero si estuvieran más separadas no hay una forma clara de decidir cuál sería "la del medio".

[Santi's AI]

Claro ya entendí, bueno eso en realidad me olvidé de aclararlo pero cuando se tiene una cantidad impar de monedas, entonces como a la derecha y a la izquierda hay 50 monedas la moneda de referencia va a tener todo el resto de monedas de la circunferencia a la izquierda y a la derecha, sin ninguna que sobre. Entonces sabiendo esto vos vas a poder elegir de entre las que aparecen una cantidad impar de veces 2X + 1, una que tenga X impares a su izquierda y X impares a su derecha. Ahí se la considera la del medio

[Gianni De Rico]

vos vas a poder elegir de entre las que aparecen una cantidad impar de veces 2X + 1, una que tenga X impares a su izquierda y X impares a su derecha.

Acá estás haciendo razonamiento circular, lo que te pide el problema es justamente que demuestres que existe una moneda que tiene $X$ monedas de un valor (por ejemplo, $10$) entre las $50$ a su izquierda y $X$ monedas de $10$ entre las $50$ a su derecha. En cualquier ejemplo que hagas vas a encontrar una que cumple eso justamente porque el problema es cierto, pero estás tratando de demostrar el problema suponiendo que es algo válido. Es como si te pidieran demostrar que un número $n$ es par y vos dijeras algo del estilo

Si $n$ fuera par, entonces $n=2k$ con $k$ entero, así que $\frac{n}{2}=k$, que es entero. Entonces $n$ es par.

Esto no anda porque ya sabías de antes que $n$ era par, así que toda la cuenta que hiciste para demostrarlo fue innecesaria.

[Sergiohuang2004]

Entonces alguien lo pudo hacer?