OMCC 2021 - P3

[Gianni De Rico]

En un tablero de $2021\times 2021$ casillas coloreamos algunas casillas de negro de tal forma que si ponemos un ratón en el centro de cualquier casilla del tablero este puede caminar en línea recta en alguna dirección (arriba, abajo, izquierda o derecha a lo largo de columnas o filas) y salir del tablero sin pisar ninguna casilla negra (distinta de la inicial si esta es negra). ¿Cuál es la máxima cantidad de casillas que pueden ser coloreadas de negro?

[EmRuzak]

Spoiler: mostrar

Una ficha es accesible si la rata en esa ficha puede salir del tablero, o equivalentemente entrar por un borde.

Hay como máximo $2021$ fichas negras accesibles para cada lado, que son una por cada fila o columna perpendicular a ese lado.
Si un lado del tablero tiene $2021$ casillas accesibles por ese lado, hay $2$ fichas negras que tocan los $2$ lados adyacentes,
Si un lado del tablero tiene $2020$ casillas accesibles por ese lado, hay al menos $1$ ficha negra que toca $1$ lado adyacente

Una casilla puede tocar como máximo $2$ lados, entonces hay como máximo, el máximo de:
$2021+2021+2021+2021- \frac{8}{2}$, $2021+2021+2021+2020- \frac{7}{2}$ y así hasta $2020*4$, por lo que es $2021*4-4=8080$ y se puede obtener así:

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