ONEM 2021 - Fase 2 - Nivel 1 - P10

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Nando

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ONEM 2021 - Fase 2 - Nivel 1 - P10

Mensaje sin leer por Nando »

Alrededor de una mesa circular están sentados $10$ niños y cada uno tiene $7$ caramelos. Cada vez que suena la campana se realiza el siguiente proceso: cada niño reparte todos los caramelos que tiene en ese momento a sus dos vecinos (no necesariamente de forma equitativa, y si no tiene caramelos no reparte nada). Luego de que la campana sonó algunas veces ocurrió que César, Andrés y Mario tenían todos los caramelos. Si la cantidad de caramelos que tiene César es cuatro veces la que tiene Andrés, calcule la diferencia de la cantidad de caramelos que tienen Mario y Andrés.
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Lean

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Re: ONEM 2021 - Fase 2 - Nivel 1 - P10

Mensaje sin leer por Lean »

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Todos tienen 7 caramelos y estan alrededor de una circunferencia. Como hay 10 niños en total, tenemos la mitad en posiciones pares (PP) y la otra en posiciones impares (PI). La suma de los que estan en PP es 35 y los que estan en PI es 35.

Como cada chico reparte sus caramelos a chicos que estan en posiciones de paridad contraria, generalizando podemos decir que los caramelos de niños en PP pasan a estar en PI y viceversa. La suma de los caramelos en tanto PP como PI es invariante.

Es imposible que César, Andrés y Mario tengan la misma paridad, ya que seria decir que los 70 caramelos estan en los PP o los PI. Si César tiene paridad distinta de Andrés y Mario, seria absurdo, porque César tiene 4 veces mas caramelos que Andrés y $4\nmid 35$ Si Andrés tiene paridad distinta que los demas, seria absurdo, porque César tendria $4*35$ caramelos.

Entonces, César y Andrés tienen misma paridad. $C+A=35$ $\Rightarrow$, $C=28,A=7,M=35$ $\Rightarrow$ $M-A=28$.
"El mejor número es el 73".
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