OFO 2022 Problema 2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Fiebre

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OFO 2022 Problema 2

Mensaje sin leer por Fiebre »

Fede y Lorenzo juegan un juego. Hay $40$ cartas numeradas del $1$ al $10$ y con cuatro palos distintos. Al principio, cada jugador recibe $20$ cartas, y en su turno puede poner una carta en la mesa o tomar algunas cartas de la mesa cuya suma sea $12$ y descartarlas. Al final, Fede tiene en su mano un $9$ y un $1$, en la mesa hay un $2$ y Lorenzo tiene una única carta.
Hallar el valor de esta carta.
Ni con todas las fórmulas del mundo puedo despejarte de mi cabeza
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Fiebre

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Re: OFO 2022 Problema 2

Mensaje sin leer por Fiebre »

Aquí publicaremos la solución oficial.
Ni con todas las fórmulas del mundo puedo despejarte de mi cabeza
lola.m

COFFEE - Mención-COFFEE Carolina González OFO - Mención-OFO 2021 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2022
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Re: OFO 2022 Problema 2

Mensaje sin leer por lola.m »

Spoiler: mostrar
La suma de todas las cartas es:
$4\times \frac{10\times 11}{2}=220$
Llamemos $x$ al número de la carta de Lorenzo. Como solo quedan el $1$, $9$, $2$ y $x$, el resto de las cartas tuvieron que ser descartadas. Eso significa que se pueden agrupar en grupos cuya suma sea $12$. Por lo tanto, la suma de las cartas descartadas tiene que ser múltiplo de $12$. La suma de las cartas descartadas es:
$220-1-2-9-x=208-x$
$208-x=12k$
$208$ tiene resto $4$ módulo $12\to x=4$
El siguiente valor posible de $x$ es $16$, pero las cartas no tienen números mayores a $10$ por lo que $4$ es el único valor posible.
(Descarto los posibles valores negativos de $x$ porque las cartas no tienen números menores a $1$)
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