Selectivo cono sur 2012 - Problema 1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Selectivo cono sur 2012 - Problema 1

Mensaje sin leer por ésta » Jue 19 Abr, 2012 6:18 pm

En un tablero de [math] Sofía colorea [math] casillas de rojo. Pedro debe elegir un cuadrado de [math] del tablero (de [math] casillas). Si el tablero que elige Pedro tiene [math] o más casillas rojas, gana Pedro, si no, gana Sofía. Determinar cual de los dos tiene estrategia ganadora.
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Re: Selectivo cono sur 2012 - Problema 1

Mensaje sin leer por ésta » Jue 19 Abr, 2012 7:13 pm

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1selcono2012.JPG
Hay [math] casillas que no estan ni en un cuadrado rojo ni en uno azul, entonces hay al menos [math] casillas pintadas que estan dentro de alguno de estos, pero hay [math] de estos cuadrados, sigue por Palomar que en alguno hay [math] pintadas.
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Prillo

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Re: Selectivo cono sur 2012 - Problema 1

Mensaje sin leer por Prillo » Vie 20 Abr, 2012 12:57 am

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Weheineman
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Re: Selectivo cono sur 2012 - Problema 1

Mensaje sin leer por Weheineman » Dom 22 Abr, 2012 11:41 pm

Sino demostrás por http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.ph ... 1240#p1235 que el máximo es [math]. Al haber [math], por palomar, siempre habrá un cuadrado de [math] con al menos tres casilleros pintados.
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Caro - V3

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Re: Selectivo cono sur 2012 - Problema 1

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Dom 22 Abr, 2012 11:51 pm

Si pudiera pondría "Me gusta"
Edit: ahora puedo jaja
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Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Emerson Soriano

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Re: Selectivo cono sur 2012 - Problema 1

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Vie 18 Mar, 2016 6:09 pm

Esta solución es para poder encontrar alguna cota para tableros de cualquier tamaño:
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Probaremos que Pedro siempre puede ganar. En efecto, en este problema en vez del color rojo será el color negro, para no confundir con el coloreo de la imagen.

Diremos que [math] es la mayor cantidad de casillas que podemos pintar de negro a un tablero de [math] tal que no exista un subtablero de [math] que tenga al menos tres casills pintadas de negro. Ahora, trataremos de estimar [math] en relación a [math]. En efecto, arriba tenemos un tablero de [math], en donde la región amarilla es un tablero de [math], la región roja es un tablero de [math] y la región celeste es lo que sobra. Supongamos que al tablero mayor le hemos pintado [math] casillas de modo que no hay un subtablero de [math] que tenga al menos tres casillas de negro. En la región roja, si la particionamos en [math] subtableros de [math] podemos notar que como máximo se pueden pintar de negro a [math] casillas (ya que en cada subtablero se puede pintar a lo sumo a dos casillas). En la región amarilla hay a lo sumo [math] casillas pintadas de negro. Ahora, en la región celeste no es difícil demostrar que hay a lo sumo [math] casillas pintadas de negro. Por lo tanto, [math]. Por lo tanto, en un tablero de [math] en el que no hay un subtablero de [math] que tenga al menos tres casillas de negro, debe haber a lo sumo [math] casillas pintadas de negro. Pero como Sofía ha pintado [math] casillas, entonces Pedro gana.

No es difícil darse cuenta que [math]. Luego, se deduce que [math], en consecuencia [math]. Finalmente tenemos que [math]. Por lo tanto, como hay [math] casillas rojas, entonces Pedro gana.
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NPCPepe

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Re: Selectivo cono sur 2012 - Problema 1

Mensaje sin leer por NPCPepe » Sab 07 Mar, 2020 1:32 pm

Asi se puede demostrar el nacional 2019 p2 y este problema
1583598555691-1363335431.jpg
por palomar
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$3=569936821221962380720^3+(-569936821113563493509)^3+(-472715493453327032)^3$: esta es la tercer menor solucion descubierta para la ecuación $a^3+b^3+c^3=3$ , las otras dos son $1^3+1^3+1^3=3$ y $4^3+4^3+(-5)^3=3$

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