Notemos primero que el dígito que es igual a la suma de los demás es el más grande de todos. Veamos cuántos dígitos puede tener un número feliz.
No hay números felices de un dígito porque la suma de los demás dígitos es $0$. No hay números felices de dos dígitos porque la suma de los demás dígitos es simplemente el otro dígito, así que tendrían que tener dos dígitos iguales. No puede haber números felices de cinco o más dígitos, porque en ese caso la suma de los dígitos más chicos es al menos $1+2+3+4=10$ (porque son todos distintos), pero el dígito más grande es a lo sumo $9$ (porque es un dígito), así que no puede ser igual a la suma de los demás dígitos.
Entonces los números felices solamente pueden tener tres o cuatro dígitos. Ahora es cuestión de ser ordenados para buscarlos.
Miremos primero el caso en que el número tiene tres dígitos.
Vamos a ir haciendo casos según el valor del dígito más grande. Como los dos dígitos más chicos son distintos, entonces su suma es al menos $1+2=3$. Entonces el dígito más grande está entre $3$ y $9$. Para cada dígito más grande, vamos a hacer casos según el valor del dígito más chico. Los contamos sin importar el orden y después multiplicamos todo por $3!$.
El dígito más grande es $3$.
Si el dígito más chico es $1$, entonces el otro tiene que ser $2$. Si el dígito más chico es al menos $2$, me paso.
El único que anda acá es $123$. Una posibilidad.
El dígito más grande es $4$.
Si el dígito más chico es $1$, entonces el otro tiene que ser $3$. Si el dígito más chico es al menos $2$, me paso.
El único que anda acá es $134$. Una posibilidad.
El dígito más grande es $5$.
Si el dígito más chico es $1$, entonces el otro tiene que ser $4$. Si el dígito más chico es $2$, entonces el otro tiene que ser $3$. Si el dígito más chico es al menos $3$, me paso.
Los únicos que andan acá son $145$ y $235$. Dos posibilidades.
El dígito más grande es $6$.
Si el dígito más chico es $1$, entonces el otro tiene que ser $5$. Si el dígito más chico es $2$, entonces el otro tiene que ser $4$. Si el dígito más chico es al menos $3$, me paso.
Los únicos que andan acá son $156$ y $246$. Dos posibilidades.
El dígito más grande es $7$.
Si el dígito más chico es $1$, entonces el otro tiene que ser $6$. Si el dígito más chico es $2$, entonces el otro tiene que ser $5$. Si el dígito más chico es $3$, entonces el otro tiene que ser $4$. Si el dígito más chico es al menos $4$, me paso.
Los únicos que andan acá son $167$, $257$ y $347$. Tres posibilidades.
El dígito más grande es $8$.
Si el dígito más chico es $1$, entonces el otro tiene que ser $7$. Si el dígito más chico es $2$, entonces el otro tiene que ser $6$. Si el dígito más chico es $3$, entonces el otro tiene que ser $5$. Si el dígito más chico es al menos $4$, me paso.
Los únicos que andan acá son $178$, $268$ y $358$. Tres posibilidades.
El dígito más grande es $9$.
Si el dígito más chico es $1$, entonces el otro tiene que ser $8$. Si el dígito más chico es $2$, entonces el otro tiene que ser $7$. Si el dígito más chico es $3$, entonces el otro tiene que ser $6$. Si el dígito más chico es $4$, entonces el otro tiene que ser $5$. Si el dígito más chico es al menos $5$, me paso.
Los únicos que andan acá son $189$, $279$, $369$ y $459$. Cuatro posibilidades.
En total, $1+1+2+2+3+3+4=16$ posibilidades. Multiplicando por $3!$ resultan $16\cdot 3!=96$ posibilidades.
Miremos ahora el caso en que el número tiene cuatro dígitos.
Vamos a ir haciendo casos según el valor del dígito más grande. Como los tres dígitos más chicos son distintos, entonces su suma es al menos $1+2+3=6$. Entonces el dígito más grande está entre $6$ y $9$. Notemos primero que si el dígito más chico es $2$, entonces la suma de los tres dígitos más chicos es al menos $2+3+4=9$, así que salvo en el caso del $9$, todos los demás tienen al $1$ como dígito más chico. Para cada dígito más grande, vamos a hacer casos según el valor del segundo dígito más chico. Los contamos sin importar el orden y después multiplicamos todo por $4!$.
El dígito más grande es $6$.
Si el segundo dígito más chico es $2$, entonces el otro tiene que ser $3$. Si el segundo dígito más chico es al menos $3$, me paso.
El único que anda acá es $1236$. Una posibilidad.
El dígito más grande es $7$.
Si el segundo dígito más chico es $2$, entonces el otro tiene que ser $4$. Si el segundo dígito más chico es al menos $3$, me paso.
El único que anda acá es $1247$. Una posibilidad.
El dígito más grande es $8$.
Si el segundo dígito más chico es $2$, entonces el otro tiene que ser $5$. Si el segundo dígito más chico es $3$, entonces el otro tiene que ser $4$. Si el segundo dígito más chico es al menos $4$, me paso.
Los únicos que andan acá son $1258$ y $1348$. Dos posibilidades.
El dígito más grande es $9$.
Veamos lo que pasa cuando el dígito más chico es $1$. Si el segundo dígito más chico es $2$, entonces el otro tiene que ser $6$. Si el segundo dígito más chico es $3$, entonces el otro tiene que ser $5$. Si el segundo dígito más chico es al menos $4$, me paso.
Veamos lo que pasa cuando el dígito más chico es $2$. Si el segundo dígito más chico es $3$, entonces el otro tiene que ser $4$. Si el segundo dígito más chico es al menos $4$, me paso.
Si el dígito más chico es al menos $3$, me paso.
Los únicos que andan acá son $1269$, $1359$ y $2349$. Tres posibilidades.
En total, $1+1+2+3=7$ posibilidades. Multiplicando por $4!$ resultan $7\cdot 4!=168$ posibilidades.
Sabiendo que un número se considera feliz si todos sus dígitos son distintos, y distintos a 0, y uno de sus dígitos es igual a la suma de los demás, lo que hice fue empezar a analizar casos:
¿Cuántos dígitos tendrán los números?
Los números no pueden tener un solo dígito ya que la suma de los demás sería 0.
Los números no pueden tener dos dígitos ya que la suma de los demás sería igual al número mayor( y el enunciado dice que sus dígitos son distintos).
Los números pueden tener tres dígitos ya que la suma mínima de los demás seria 1+2= 3, entonces el dígito que marca la suma de los demás será 3.
Los números pueden tener cuatro dígitos ya que la suma mínima de los demás sería 1+2+3 = 6, entonces el dígito que marca la suma de los demás será 6.
Los números no podrán tener cinco o más dígitos ya que la suma mínima si tienen cinco dígitos sería 1+2+3+4 = 10.
Analicemos los números con tres dígitos:
Buscando aquellos donde el número mayor sea el segundo dígito encontré los siguientes:
1-132 17-385
2-143 18-396
3-154 19-451
4-165 20-462
5-176 21-473
6-187 22-495
7-198 23-561
8-231 24-572
9-253 25-583
10-264 26-594
11-275 27-671
12-286 28-682
13-297 29-693
14-341 30-781
15-352 31-792
16-374 32-891
Si vemos en total tenemos 32 posibilidades, si denominamos al número de tres dígitos como abc , entonces tenemos 32 posibilidades para a, otras 32 para b y otras 32 para c , es decir, 32 x 3 = 96 posibilidades con números de tres dígitos.
Ahora analicemos los números de cuatro dígitos:
Como vimos anteriormente el dígito mayor en los números de cuatro dígitos será como mínimo 6.
Analizemos los casos:
Si empezamos con que el número mayor es el primero a la izquierda, si este es 6 entonces las posibilidades serán:
1-6123
2-6132
3-6321
4-6312
5-6231
6-6213
Es decir las posibilidades serán 3!= 1 x 2 x 3 = 6.
Ahora analicemos si el número mayor es el primero a la izquierda = 7 :
El caso será:
1-7124
Y como cada caso hay 3! posibilidades ya tenemos 6 más.
Si empezamos con que el número mayor es el primero a la izquierda, si este es 8 entonces los casos serán:
1-8125
2-8134
Es decir tenemos 3! x 2 = 12 posibilidades.
Si empezamos con que el número mayor es el primero a la izquierda, si este es 9 entonces los casos serán:
1-9153
2-9162
3-9234
Es decir tenemos 3! x 3 = 18 posibilidades.
Si sumamos todas estas obtenemos 3! x 7 = 42 posibilidades.
Si denominamos al número de cuatro cifras como abcd, entonces tenemos 42 posibilidades para a , otras 42 para b ,otras 42 para c y otras 42 para d, es decir, en total tenemos 42 x 4 =168 números felices de cuatro cifras.
·Ahora nos queda sumar todas las posibilidades, la suma quedaría:
168 + 96 = $264$ números felices.
