IMO 2014 Problema 3

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Matías V5

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IMO 2014 Problema 3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mar 08 Jul, 2014 9:32 am

En el cuadrilátero convexo [math], se tiene [math]. La perpendicular a [math] desde [math] corta a [math] en el punto [math]. Los puntos [math] y [math] están en los lados [math] y [math], respectivamente, y son tales que [math] está dentro del triángulo [math] y
[math].
Demostrar que la recta [math] es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Ivan

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Re: IMO 2014 Problema 3

Mensaje sin leer por Ivan » Mié 09 Jul, 2014 2:20 am

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Primero transformemos la condición de los ángulos en algo más manejable. Tenemos que [math]. Esto sugiere algo como cíclicos o arco capaz, posiblemente con una tangente. Mirando un poco la figura se ve que la paralela a [math] por [math] resulta tangente a la circunferencia circunscripta de [math]. Pero esta tangente es perpendicular a [math] (por ser paralela a [math]). Esto equivale a decir que el circuncentro de [math], llamémoslo [math], está en [math]. El mismo razonamiento dice que el circuncentro de [math], llamémoslo [math], está en [math].

Veamos una estrategia para probar que [math] es tangente a la circunscripta de [math]. Esto es como probar que el circuncentro de [math], llamémoslo [math], está en la perpendicular a [math] por [math], o sea la recta [math]. Entonces nos vamos a enfocar en probar que [math] está en [math]. Sabemos que [math] es la intersección de las mediatrices de [math] y [math]. La mediatriz de [math] no es otra cosa que la bisectriz de [math]. Del mismo modo, la mediatriz de [math] es la bisectriz de [math]. Entonces queremos probar que esas dos bisectrices se cortan sobre [math]. Por teorema de la bisectriz (y un mínimo de tramposética) basta ver que [math].

Podemos describir [math] de una forma bastante manejable: [math] está en la mediatriz de [math] (por ser circuncentro de [math]) y también está en [math]. Luego es la intersección de estas dos rectas. Del mismo modo, [math] es la intersección de la mediatriz de [math] con [math].


El problema que tenemos que resolver se reformula así:
  • En el cuadrilátero convexo [math], se tiene [math]. La perpendicular a [math] desde [math] corta a [math] en el punto [math]. La mediatriz de [math] corta a [math] en [math] y a [math] en [math]. Probar que [math].

Ahora resolvemos el problema nuevo. Queremos probar que [math]. Además sabemos que [math]. Esto suena mucho a Apolonio. Llamamos [math] a la circunferencia circunscripta de [math]. La recta [math] pasa por el centro de [math], por ser mediatriz de [math]. Llamamos [math] y [math] a los puntos donde [math] corta a [math]. Por las ideas usuales relacionadas con Apolonio, si probamos que [math] y [math] son las bisectrices de [math], habremos resuelto el problema.

Entonces queremos ver que [math] y [math] son las bisectrices de [math].

Como [math] y [math] son los puntos medios de los arcos [math], se tiene que [math] y [math] son las bisectrices de [math].

Por un momento pensamos en el triángulo [math], que tiene altura [math] y donde [math] es el opuesto de [math] en la circunferencia circunscripta. Viendo pocos angulitos sale que [math]. Esto nos dice que las bisectrices de [math] son las bisectrices de [math]. Pero sabemos que las bisectrices de [math] son [math] y [math]. Entonces [math] y [math] son las bisectrices de [math] y estamos [math]
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jujumas

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Re: IMO 2014 Problema 3

Mensaje sin leer por jujumas » Jue 01 Mar, 2018 6:46 pm

Otra forma:
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Figura de análisis:
IMO2014P3.png
Sean $C_1$ y $C_2$ los reflejos de $C$ por $B$ y por $D$. La condición de ángulos se traduce a $S\hat{C_1}C=180^{\circ} - C\hat{H}S$, de donde $CHSC_1$ es cíclico. Análogamente, $CHTC_2$ es cíclico.

Notemos que lo que queremos demostrar se traduce a que el circuncentro de $STH$ se encuentra en $AH$. Luego, lo que queremos demostrar es que la mediatriz de $SH$,
la mediatriz de $HT$ y $AH$ concurren.

Sean entonces $O_1$ y $O_2$ los centros de las circunscritas a $CHS$ y $CHT$ respectívamente, notemos que dichas mediatrices son las bisectrices de $SO_1H$ y de $TO_2H$, y como $O_1$ y $O_2$ caen en $AB$ y $AD$ respectivamente, ya que caen en las mediatrices de $CC_1$ y $CC_2$ respectivamente, lo que queremos demostrar se traduce a que la bisectriz de $A\hat{O_1}H$ y la de $A\hat{O_2}H$ cortan a $AH$ en la misma proporción.

Luego, por el Teorema de la bisectriz, queremos ver que $\frac{AO_1}{O_1H} = \frac{AO_2}{O_2H}$.

Sean $S_1$ y $T_1$ los segundos puntos de contacto de los circuncírculos de $CHC_1$ con $AB$ y $CHC_2$ con $AD$ respectivamente, vamos a ver que $ST$ y $S_1T_1$ son paralelas.

Para ver esto, consideremos la figura resultante tras hacer estas dos transformaciones:

(i) Una inversión de centro $A$ y radio $\sqrt{AB \times AD}$

(ii) Una reflexión de la figura por la bisectriz de $B\hat{A}D$.

Es fácil ver que esta transformación manda $B$ a $D$, y $D$ a $B$. Esto implica que la transformación manda la recta $BD$ al circuncírculo de $ABD$, y manda el circuncírculo de $ABD$ a la recta $BD$. Luego, como $H$ y $C$ son isogonales, concluimos que esta transformación manda $H$ a $C$ y manda $C$ a $H$.

Sean ahora $H_1$ y $H_2$ las imagenes de la transformación de $C_1$ y $C_2$ respectivamente, notemos que la transformación manda $CC_1$ al circuncírculo de $AHD$ y transforma la condición de que $AC_1=AC$ a que $AD$ sea bisectriz de $H\hat{D}H_1$. Luego, $H_1$ es el reflejo de $H$ por $AD$ y $H_2$ es el reflejo de $H$ por $AB$, pero notemos que $C_1H_2SHC$ y $CHTH_1C_2$ son cíclicos, por lo que la transformación intercambia los circuncirculos de $CHS$ y $CHT$.

Por último, esto implica que la transformación intercambia los puntos $S$ y $T_1$ y los puntos $T$ y $S_1$, pero esto implica que $AS \times AT_1 = AT \times AS_1$, por lo que $\frac{AT}{AS} = \frac{AT_1}{AS_1}$, lo que implica que $\frac{AT}{AS} = \frac{TT_1}{SS_1}$, que es lo mismo que decir $\frac{AT}{AS} = \frac{TO_2}{SO_1}$, por lo que $\frac{AO_1}{O_1H} = \frac{AO_2}{O_2H}$ y la demostración esta completa.
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