Regional 2012 Nivel 1 - Problema 3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Franco Frizzo
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Regional 2012 Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por Franco Frizzo » Jue 13 Sep, 2012 8:38 pm

Se tiene un polígono regular $\mathscr{P}$ de $n$ lados. Sean $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ cinco vértices consecutivos de $\mathscr{P}$. Las rectas $AB$ y $DE$ se cortan en $K$, de modo que $\widehat{BKD}=150º$. Calcular la cantidad $n$ de lados del polígono $\mathscr{P}$.
Última edición por Franco Frizzo el Jue 13 Sep, 2012 8:48 pm, editado 1 vez en total.

tuvie

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Re: Regional 2012 Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por tuvie » Jue 13 Sep, 2012 8:43 pm

Sea el angulo del poligono x, por lo tanto en el cuadrilatero kbcd 180-x+180-x+360-x+150=360, x=170, el exterior a x es 10, y 360/10=36 que es la cantidad de lados. Perdonen, no tengo tiempo de pasar a latex
Última edición por tuvie el Jue 13 Sep, 2012 9:31 pm, editado 2 veces en total.

elcolectivero
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Re: Regional 2012 Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por elcolectivero » Jue 13 Sep, 2012 8:48 pm

Nombra X a cada angulo del poligono, en el cuadrilatero BCDK, tenes dos angulos de 180-X, uno de 150 y otro de 360-X. Haces la ecuacion que esos 4 angulos son = 360 y te queda que X=170. Tenes que cada ángulo del poligono regular mide (180.N- 360):N, siendo N la cant de lados. Sabes que el angulo es 170 entonces esa formulita la igualas con 170 y te queda N, que es igual a 36

tuvie

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Re: Regional 2012 Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por tuvie » Jue 13 Sep, 2012 10:08 pm

Nombro al ángulo del polígono como [math], por lo tanto [math](por ángulos externos). El ángulo cóncavo a [math] es igual a [math]. Se plantea un ecuación; la siguiente:
[math]
[math]
[math]
Con esto sigue que los ángulos externos del polígono es 10, por lo tanto al hacer [math] y estamos.
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martin9753
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Re: Regional 2012 Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por martin9753 » Lun 17 Sep, 2012 9:39 am

yo lo hice de otra manera, pero me dio lo mismo......
Imagen
consideré que BKC(ángulo) es la mitad de BKD(ángulo) porque es igual a CKD(ángulo) ya que pertenecen a triángulos congruentes (criterio ALA)
por lo tanto, sabiendo que tanto BKC como CKD miden 75 grados pude armar un sistema de ecuaciones:
beta+75grados+2xAlpha=180grados
alpha+2xBeta=180grados
===============> por lo tanto, alpha=180grados-2xBeta
luego, utilizando el método de sustitución resolví el sistema.
beta+75grados+2x(180grados-2xBeta)=180grados
beta=85grados

por lo tanto,
alpha=180grados-2x85grados
alpha=10grados

y si el angulo central es 10grados, entonces:
N=numero de lados
N=360grados/10grados
N=36

Francabj2003
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Re: Regional 2012 Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por Francabj2003 » Mar 13 Sep, 2016 7:26 pm

Yo planteé una ecuación. Es la siguiente:
150°+ 720/n + (360-(180*(n-2/n)=360°
150°+ 720/n+ (360- (180n-360/n)=360°
150°+720/n+ (360°-180 +360/n)=360°
150°+ 720/n + 180°+ 360/n=360
1080/n= 360-150-180
1080/n=30
1080=30n
1080/30=n
36=n
Rta: El polígono es de 36 lados

ricarlos
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Re: Regional 2012 Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por ricarlos » Mar 13 Sep, 2016 10:38 pm

Spoiler: mostrar
Es facil ver que el triangulo [math] es isosceles en [math] entonces [math]. Pero BAE es un angulo inscrito que subtiende 3 lados, entonces el angulo
central para 1 lado mide 2(15)/3=10, Luego n=360/10=36.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

irinacaramuti06
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Re: Regional 2012 Nivel 1 - Problema 3

Mensaje sin leer por irinacaramuti06 » Vie 16 Oct, 2020 12:07 pm

Lo que yo hice fue:
Spoiler: mostrar
Al armarse la figura se forma un cuadrilátero, en el cual tenés el ángulo de 150°, 2 ángulos iguales, a lo que puse el nombre Y uno, diferente, llamemos lo X. Los ángulos Y son adyacentes, cada uno, a un ángulo del polígono regular, mientras que el ángulo X, más 360 es igual a otro ángulo del polígono regular por lo que plantee las siguientes ecuaciones (No sé como poner la llave que las une pero imaginen que la tiene):
360-150= 2Y+X
180-Y=360-X
Esto nos lleva a que:
X=180+Y
Y por lo tanto
210= 2Y + (180+Y)
210-180= 2Y+Y
30= 3Y
10=Y
Al despejar nos da que:
X=180 + 10=190
Y como
Los ángulos Y son adyacentes, cada uno, a un ángulo del polígono regular, mientras que el ángulo X, más 360 es igual a otro ángulo del polígono regular
, los ángulos del polígono regular son igual a 170.
La suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera es:
180*(n-2), siendo n el número de lados (el número de lados es igual al número de ángulos). Por lo tanto:
180*(n-2)= 170*n
180n-360= 170n
180n-170n=360
10n= 360
n=36= cantidad de lados= respuesta :D
/
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