Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

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Nacho

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Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

Mensaje sin leer por Nacho » Sab 15 Sep, 2012 8:59 pm

Sea [math] un triángulo tal que el ángulo [math] es menor que el ángulo [math]. La bisectriz del ángulo [math] corta al lado [math] en [math]. Sean [math] en el lado [math] tal que [math] y [math] en el lado [math] tal que [math]. Demostrar que [math].
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amcandio

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Re: Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

Mensaje sin leer por amcandio » Vie 26 Oct, 2012 5:02 pm

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Se traza la paralela a [math]por [math], que corta a [math] en [math]. Como [math] entonces [math] y como [math], concluimos que [math] es la mediatriz del segmento [math], pero como [math] es bisectriz, y es un hecho conocido que la bisectriz de un angulo y la mediatriz del lado opuesto a ese angulo concurren en la circunferencia circunscripta, tenemos que [math] es ciclico, de donde [math], CQD.
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Nacho

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Re: Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

Mensaje sin leer por Nacho » Sab 27 Oct, 2012 9:12 pm

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Por Teorema del Seno en [math] y Teorema de la Bisectriz en [math], tenemos que [math]. Pero notemos que [math]. Nos queda entonces que [math].

Pero notemos por Teorema del Seno en [math] que [math]. Y también por Teorema del Seno pero en [math], tenemos [math]. Igualando las dos, tenemos que [math]. Entonces [math] o [math]. Pero ambos ángulos son agudos puesto que [math] y [math]. Por lo tanto [math]. [math]
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ktc123

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Re: Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

Mensaje sin leer por ktc123 » Sab 21 Jun, 2014 4:05 pm

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Por enunciado [math] y [math]. Como la bisectriz exterior de [math] y la bisectriz interior de [math] concurren en [math], concluimos que [math] es centro de la circunferencia exinscrita del [math] con respecto a [math]. Entonces [math] es bisectriz exterior de [math] y por suma de ángulos obtenemos que [math]. Por suma de ángulos en [math], [math]. Por suma de ángulos en [math], [math]. Finalmente por suma de ángulos en [math], resulta que [math] como queriamos demostrar.
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3,14

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Re: Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

Mensaje sin leer por 3,14 » Dom 18 Ene, 2015 9:43 am

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Sea [math] y [math]. Por angulitos es fácil ver que:
[math]
[math]
[math]
Marquemos el incentro del triángulo [math] y llamémoslo [math]. Como [math] es bisectriz, entonces [math] se encuentra sobre [math]. Ahora tracemos [math] y [math]. Como [math] es el incentro de [math] entonces [math] y [math] son bisectrices de sus respectivos ángulos. De esto sale que:
[math]
[math]
Observemos ahora que [math] y que ambos ángulos abarcan el segmento [math]. Por ello, el cuadrilátero [math] es cíclico, y como [math], entonces por ángulos inscriptos en una circunferencia sale que: [math].
Por otro lado:
[math]
Como [math] es opuesto al angulo [math] en un cuadrilátero cíclico, entonces suman [math], y sale que:
[math]
Ahora podemos obtener que:
[math]
Y finalmente:
[math]
como queríamos demostrar.
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[math]

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Gianni De Rico

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Re: Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 11 Sep, 2017 10:09 am

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Prolongando [math] hasta que se corte con [math] en [math] tenemos que [math] es bisectriz y altura desde [math] es isósceles en [math] es el reflejo de [math] por [math]. Sea [math] el reflejo de [math] por [math] y [math] el reflejo de [math] por [math]. Como [math] entonces [math]. Notemos que [math] es cíclico ya que [math] por reflexión. Tenemos que [math] son colineales y [math] son colineales; entonces [math] es bisectriz de [math] y por reflexión [math] es bisectriz de [math]. Como las bisectrices de todos los ángulos con vértices sobre un mismo arco de circunferencia concurren en el punto medio del arco opuesto, entonces [math] es cíclico, por lo tanto [math]. Por reflexión, [math] es isósceles en [math], como [math] entonces [math] es bisectriz de [math], por lo tanto [math]
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[math]

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