Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

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Nacho

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Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

Mensaje sin leer por Nacho »

Sea [math] un triángulo tal que el ángulo [math] es menor que el ángulo [math]. La bisectriz del ángulo [math] corta al lado [math] en [math]. Sean [math] en el lado [math] tal que [math] y [math] en el lado [math] tal que [math]. Demostrar que [math].
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amcandio

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Re: Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

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Se traza la paralela a [math]por [math], que corta a [math] en [math]. Como [math] entonces [math] y como [math], concluimos que [math] es la mediatriz del segmento [math], pero como [math] es bisectriz, y es un hecho conocido que la bisectriz de un angulo y la mediatriz del lado opuesto a ese angulo concurren en la circunferencia circunscripta, tenemos que [math] es ciclico, de donde [math], CQD.
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Nacho

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Re: Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

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Por Teorema del Seno en [math] y Teorema de la Bisectriz en [math], tenemos que [math]. Pero notemos que [math]. Nos queda entonces que [math].

Pero notemos por Teorema del Seno en [math] que [math]. Y también por Teorema del Seno pero en [math], tenemos [math]. Igualando las dos, tenemos que [math]. Entonces [math] o [math]. Pero ambos ángulos son agudos puesto que [math] y [math]. Por lo tanto [math]. [math]
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ktc123

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Re: Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

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Por enunciado [math] y [math]. Como la bisectriz exterior de [math] y la bisectriz interior de [math] concurren en [math], concluimos que [math] es centro de la circunferencia exinscrita del [math] con respecto a [math]. Entonces [math] es bisectriz exterior de [math] y por suma de ángulos obtenemos que [math]. Por suma de ángulos en [math], [math]. Por suma de ángulos en [math], [math]. Finalmente por suma de ángulos en [math], resulta que [math] como queriamos demostrar.
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3,14

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Re: Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

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Sea $\angle CAD=\alpha$ y $\angle DEB=\beta$. Por angulitos es fácil ver que:
$\angle AFE=2(\beta-\alpha)$
$\angle ADE=\beta-\alpha$
$\angle AEF=180º-2\beta$
Marquemos el incentro del triángulo $AFE$ y llamémoslo $I$. Como $AD$ es bisectriz, entonces $I$ se encuentra sobre $AD$. Ahora tracemos $FI$ y $EI$. Como $I$ es el incentro de $\triangle AEF$ entonces $FI$ y $EI$ son bisectrices de sus respectivos ángulos. De esto sale que:
$\angle IFE=\frac {1}{2}.2(\beta-\alpha)=\beta -\alpha$
$\angle IEF=\frac {1}{2}.(180º-2\beta)=90-\beta$
Observemos ahora que $\angle IFE=\angle IDE=\beta-\alpha$ y que ambos ángulos abarcan el segmento $IE$. Por ello, el cuadrilátero $FDEI$ es cíclico, y como $\angle FED=\beta$, entonces por ángulos inscriptos en una circunferencia sale que: $\angle FID=\beta$.
Por otro lado:
$\angle IED=\angle IEF+\angle FED=90º-\beta+\beta=90º$
Como $\angle IFD$ es opuesto al angulo $\angle IED$ en un cuadrilátero cíclico, entonces suman $180º$, y sale que:
$\angle IFD=90º$
Ahora podemos obtener que:
$\angle IDF=180º-90º-\beta=90º-\beta$
Y finalmente:
$\angle FDC=90º-(90º-\beta)-(\beta-\alpha)=\alpha$
como queríamos demostrar.
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Gianni De Rico

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Re: Problema 2 Nivel 3 Nacional OMA 2001

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Nacional 2001 N3 P2.png
Prolongando $EF$ hasta que se corte con $CB$ en $B'$ tenemos que $ED$ es bisectriz y altura desde $E\Rightarrow \triangle BEB'$ es isósceles en $E\Rightarrow B$ es el reflejo de $B'$ por $ED$. Sea $A'$ el reflejo de $A$ por $ED$ y $F'$ el reflejo de $F$ por $ED$. Como $F\in EB'$ entonces $F'\in EB\Rightarrow E\in AF'\Rightarrow E\in A'F$. Notemos que $AA'F'F$ es cíclico ya que $F'\widehat AF=F\widehat A'F$ por reflexión. Tenemos que $A,E,F',B$ son colineales y $A,F,C$ son colineales; entonces $AD$ es bisectriz de $F'\widehat AF$ y por reflexión $A'D$ es bisectriz de $F\widehat A'F'$. Como las bisectrices de todos los ángulos con vértices sobre un mismo arco de circunferencia concurren en el punto medio del arco opuesto, entonces $AA'F'DF$ es cíclico, por lo tanto $F'\widehat FD=F'\widehat AD=B\widehat AD$. Por reflexión, $EF=EF'\Rightarrow \triangle FEF'$ es isósceles en $E$, como $F'\widehat ED=D\widehat EF$ entonces $ED$ es bisectriz de $F'\widehat ED$, por lo tanto $FF'\perp ED\perp BC\Rightarrow FF'\parallel BC\Rightarrow F\widehat DC=F'\widehat FD=B\widehat AD$.
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♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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