Problema 1 Iberoamericana 2012

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Turko Arias

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Problema 1 Iberoamericana 2012

Mensaje sin leer por Turko Arias » Jue 04 Oct, 2012 5:53 pm

Sobre el rectángulo [math] se dibujan los triángulos equiláteros [math] y [math] de modo que cada uno comparte puntos con el interior del rectángulo. La recta [math] corta a la recta [math] en [math]. La recta [math] corta a la recta [math] en [math]. Demostrar que el triángulo [math] es equilátero.

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Nacho

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Re: Problema 1 Iberoamericana 2012

Mensaje sin leer por Nacho » Sab 24 Nov, 2012 12:42 am

Spoiler: mostrar
Vamos a usar segmentos dirigidos ya que [math] puede quedar sobre el interior de [math] o en la prolongación. Asumimos sin pérdida de generalidad [math].
Sea [math] el punto medio de [math], [math] el punto medio de [math], [math] el punto medio de [math] y [math] el punto medio de [math].

Para mayor comodidad, denotamos [math] y [math].

Notemos que [math] y [math]. Por base media, [math] ya que [math] es altura del equilátero. Análogamente, [math].

Tenemos que [math] y [math]. Por lo tanto [math] y [math].

Ahora, hacemos Pitágoras:

[math]
[math]
[math]

Por lo tanto [math] y es equilátero, y estamos. [math]
"Though my eyes could see I still was a blind man"

ktc123

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Re: Problema 1 Iberoamericana 2012

Mensaje sin leer por ktc123 » Jue 04 Abr, 2013 11:19 pm

Pensé que no me iba a salir pero terminó saliendo :D
Spoiler: mostrar
Si P está en CD
1 ibe 12.png
Denominemos [math], [math] y [math]

Como [math] y [math] son equiláteros, todos sus ángulos miden [math]. Por ser complementarios, [math].

Como [math] es rectángulo, [math] y por SAI en [math], [math] y por opuesto por el vértice, [math], de donde resulta que [math] es equilátero. Por opuesto por el vértice con [math], [math] y por SAI en [math], [math]

Como [math] y [math] tienen todos los ángulos iguales y [math] por ser rectángulo, ambos son congruentes de donde [math]

Como [math], concluímos que [math] es cíclico de donde [math] y [math]

Por SAI en [math] concluímos que [math] y que [math]

Como [math], [math] y [math], [math] de donde [math] y [math] es isósceles

Como [math] es la base de la mediatriz de [math], también va a serlo de [math], entonces resulta que [math] es isósceles y que [math]

Como [math], [math] y [math], [math], de donde [math] es cíclico y [math]

Como [math] es isósceles, resulta que [math], y por SAI, [math] de donde sale que [math] es equilátero

Como [math], [math] es cíclico, por lo tanto [math], Por SAI en [math], [math], de donde [math]

Como [math] e [math] es un punto de la hipotenusa de [math], siendo éste rectángulo, por mediana correspondiente con hipotenusa [math] es punto medio de [math]

Por último notemos que [math] es mediatriz de [math] entonces [math] es isósceles y [math] luego por SAI [math] de donde concluímos que [math] es equilátero

Nota: SAI= Suma de Ángulos Internos

Si P está en la prolongación de CD(yo no lo planteé pero seguro es muy parecido al otro caso y copiar dos veces lo mismo no tiene sentido)
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Violeta

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Re: Problema 1 Iberoamericana 2012

Mensaje sin leer por Violeta » Dom 27 Ago, 2017 1:36 pm

No me gustan las soluciones con analitica, pero este problema estaba rogando que la usara.
Spoiler: mostrar
Sea [math] y [math]. Entonces, [math] y [math]. Ahora, las ecuaciones de las rectas [math] y [math] son [math] y [math], respectivamente.

De aqui sale que [math] y que [math].

[math]
[math]
[math]

Y sigue que [math] es equilatero :)
Última edición por Violeta el Lun 28 Ago, 2017 12:05 pm, editado 1 vez en total.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Marco V

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Re: Problema 1 Iberoamericana 2012

Mensaje sin leer por Marco V » Lun 28 Ago, 2017 7:09 am

Violeta escribió:
Spoiler: mostrar
[math]
Acá tendría que ser [math], no?

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Violeta

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Re: Problema 1 Iberoamericana 2012

Mensaje sin leer por Violeta » Lun 28 Ago, 2017 12:06 pm

Marco V escribió:
Violeta escribió:
Spoiler: mostrar
[math]
Acá tendría que ser [math], no?
Sí, gracias. Arreglado.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: Problema 1 Iberoamericana 2012

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 23 Jun, 2018 5:01 pm

Una bien fácil:
Spoiler: mostrar
Sea $M$ el punto medio de $AD$. Como $\triangle BCX$ es equilátero, $X$ está en la mediatriz de $BC$, que es la mediatriz de $AD$, pasa por $M$ y además es paralela a $CD$ por ser $ABCD$ un rectángulo, por Thales $X$ es el punto medio de $AP$. Análogamente $Y$ es el punto medio de $AQ$. Luego, por Thales $PQ\parallel XY\Rightarrow \triangle APQ\simeq \triangle AXY$
Como $ABCD$ es un rectángulo, $\triangle BCX$ y $\triangle DCY$ son equiláteros tenemos $AD=BC=XC=XB$ y $DY=CY=CD=BA$. Por otro lado $A\widehat DY=A\widehat DC-Y\widehat DC=90°-60°=30°$, análogamente $X\widehat BA=30°$ y por último $X\widehat CY=X\widehat CB-Y\widehat CB=X\widehat CB-(D\widehat CB-D\widehat CY)=60°-(90°-60°)=30°$
En resumen $AD=XC=XB$, $DY=CY=BA$ y $A\widehat DY=X\widehat CY=X\widehat BA$. Por criterio LAL $\triangle ADY\equiv \triangle XCY\equiv \triangle XBA\Rightarrow AX=XY=YA\Rightarrow \triangle AXY$ es equilátero

$\therefore \triangle APQ$ es equilátero
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[math]

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