Nacional 2006 N1 P5

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tuvie

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Re: Nacional 2006 N1 P5

Mensaje sin leer por tuvie » Mié 17 Oct, 2012 9:47 pm

Tenes razon :P

Fiebre

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Re: Nacional 2006 N1 P5

Mensaje sin leer por Fiebre » Mié 29 Jul, 2020 12:08 pm

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Sea $F$ en $AB$ tal que $CA=CF$, luego $F$ esta entre $A$ y $Q$.

Vemos que como $BA=BC$ entonces el triángulo $ABC$ es isósceles y por Suma de Ángulos Interiores (SAI) en $ABC$ tenemos que $\angle BAC=\angle BCA=80°$, como $\angle BAC=\angle BAP+\angle CAP=\angle BAP+50°=80°$, entoces $\angle BAP=30°$. De la misma forma, como $\angle BCA=\angle BCQ+\angle ACQ=\angle BCQ+60°=80°$, tenemos que $\angle BCQ=20°$.

Después por SAI en $ACP$, como $\angle PAC=50°$ y $\angle PCA=80°$, tenemos que $\angle APC=50°$, luego $ACP$ es isósceles y $CA=CP$.

Como $CA=CF$ y $\angle CAF=80°$, entonces por SAI en el triángulo isósceles $ACF$ tenemos que $\angle AFC=80°$ y $\angle ACF=20°$, luego como $\angle ACQ=\angle QCF+\angle ACF=\angle QCF+20°=60°$, tenemos que $\angle QCF=40°$.

Notemos que $CF=CP$ y que $\angle FCP=60°$, luego el triángulo $CFP$ es un triángulo isósceles con un ángulo de $60°$, entonces por SAI es equilátero, $\angle CFP=\angle CPF=\angle FCP=60°$ y $CF=CP=FP$. Como $\angle FPC=\angle FPA+\angle CPA=\angle FPA+50°=60°$, llegamos a que $\angle FPA=10°$.

Por ángulo llano, $\angle AFB=\angle AFP+\angle BFP=140°+\angle BFP=180°$, por lo tanto $\angle BFP=40°$, luego por SAI en $CFQ$, sabiendo que $\angle CFQ=100°$ y $\angle FCQ=40°$ tenemos que $\angle CQF=40°$, por lo tanto el triángulo $CFQ$ es isósceles y $FC=FQ$.

Finalmente el triángulo $FPQ$ es isósceles ya que $FP=FQ$, y como $\angle PFQ=40°$, por SAI tenemos que $\angle FPQ=\angle FQP=70°$. Por último, $\angle APQ=\angle APF+\angle FPQ=10°+70°=80°$, lo que queríamos encontrar.
Ni con todas las fórmulas del mundo puedo despejarte de mi cabeza

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