XXXIV T. I. de las Ciudades Otoño 2012 N Juvenil Problema 4

[Nacho]

Sea $\triangle ABC$ un triángulo. Sean $I$ su incentro, y $X,Y,Z$ los incentros de los triángulos $\triangle AIB, \triangle BIC$ y $\triangle AIC$ respectivamente. El incentro del triángulo $\triangle XYZ$ coincide con $I$. Determinar si es necesariamente verdadero que entonces el triángulo $\triangle ABC$ es regular (equilátero). Si es verdadero, demostrarlo. Si no, mostrar un ejemplo con las propiedades que no sea equilátero.

Aclaración: El incentro de un triángulo es el centro de la circunferencia tangente a los tres lados y se obtiene como intersección de las bisectrices. (7 puntos)

[BrunZo]

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Veamos que si $I$ es el incentro de $XYZ$, entonces el triángulo es equilátero.

Notemos que
$\angle AIZ=\frac{1}{2}\angle AIB$;
$\angle CIX=\frac{1}{2}\angle BIC$, y
$\angle CIY=\frac{1}{2}\angle CIA$;
por lo que estos tres ángulos suman la mitad de una vuelta completa, es decir $180^{\circ}$. Ahora, si prolongamos $XI$, vemos que $\angle XIY=\angle CIX+\angle CIY$, luego al ángulo agudo que delimitan $XI$ e $YI$ es igual a $\angle AIZ$. (*)
Sea $I'$ el reflejo de $I$ por $YZ$. Es claro que
$\angle XZI=\angle IZY=\angle I'ZY$, y
$\angle XYI=\angle IYZ=\angle I'YZ$;
por lo que el punto $I'$ tiene que ser el conjugado isogonal de $X$ con respecto al triángulo $YIZ$. Pero, por la igualdad (*) tenemos que, el conjugado de $X$ (o sea, $I'$) debería pertenecer a la recta $AI$ (en el dibujo no parece porque la condición no se cumple ahí).
Ahora, bien sabemos que $II'\perp YZ$ (ya que $I$ e $I'$ son simétricos), por lo que entonces $AI\perp YZ$, es decir, $AI$ es altura. Pero sabemos que $AI$ también es bisectriz de $YAZ$, luego se deduce que $YAZ$ es isósceles en $A$. Si seguimos con el razonamiento, como $AI$ es mediatriz, vale que $IY=IZ=I'Y=I'Z$, por lo que $\angle AIZ=\angle AIY$, de donde $\angle AIB=\angle AIC$, de donde $\angle ACB=\angle ABC$.
Similarmente con los otros lados, se deduce que $ABC$ tiene tres ángulos iguales, y por lo tanto es regular (equilátero).