Sea [math]ABC un triángulo y [math]P un punto interior tal que [math]\angle PBC=\angle PCA<\angle PAB. La recta [math]PB corta la circunferencia circunscrita al triángulo [math]ABC en [math]E, y la recta [math]CE corta a la circunferencia circunscrita al triángulo [math]APE en [math]F. Demostrar que [math]\frac{\text{área}(APEF)}{\text{área}(APB)} no depende de la elección del punto [math]P.
En lo que sigue, [math][\mathcal{P}] denota el area del polígono [math]\mathcal{P}. Tenenemos que [math]\angle EAC=\angle EBC=\angle ACP y luego [math]AECP es un paralelogramo, de donde [math][AEP]=[AEC] y [math][APEF]=[FAC]. Ahora bien, los triángulos [math]FAC y [math]PAB son semejantes pues [math]\angle ACF=\angle ACE=\angle ABE=\angle ABP y [math]\angle AFC=180^{\circ}-\angle APE=\angle APB, luego [math]\frac{[FAC]}{[PAB]}=\left(\frac{CA}{AB}\right)^2, que no depende de la elección del punto [math]P.
Una consulta, el hecho de que $APCE$ sea un paralelogramo o no no cambia la resolucion, pero no veo por que este lo sea. Quizas me falte algo, pero por ahora tengo que es solo un trapecio. Muchas gracias.
Lean escribió: ↑Mié 19 Jul, 2023 8:10 pm
Una consulta, el hecho de que $APCE$ sea un paralelogramo o no no cambia la resolucion, pero no veo por que este lo sea. Quizas me falte algo, pero por ahora tengo que es solo un trapecio. Muchas gracias.
De donde $\triangle AFC \sim \triangle APB$ por criterio $AA$. Luego, $\frac{|APEF|}{|APB|} = \frac{|AFC|}{|APB|}$ depende de la razón $\frac{AB}{AC}$ y no de $P$.
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