Sel Ibero 1999 Problema 2

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Prillo

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Sel Ibero 1999 Problema 2

Mensaje sin leer por Prillo » Jue 17 Ene, 2013 12:50 am

Sea [math] un triángulo isósceles con [math] y el ángulo [math] agudo. Se traza por [math] la recta perpendicular a [math], y en esta perpendicular se considera un punto Cubicado del mismo lado que [math] con respecto a la recta [math] y del mismo lado que [math] con respecto a la recta [math]. Sea [math] tal que [math] es paralelo a [math] y [math] es paralelo a [math], y sea [math] el punto de intersección de [math] y [math]. Hallar [math].

mazzito
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Re: Sel Ibero 1999 Problema 2

Mensaje sin leer por mazzito » Dom 02 Jun, 2013 11:27 pm

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Defino [math] como la intersección de [math] y [math]. Como [math] y [math](por enunciado) va a pasa que [math] es mediana correspondiente a la hipotenusa, en consecuencias ocurre que [math]. Por Thales tenemos que [math](ya que [math] es paralela a [math] por enunciado). Pero también ocurre por Thales que [math], entonces tenemos que [math], y como [math] es igual a [math]( ya que [math]) nos queda que [math], que es lo que queríamos hallar.

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Gianni De Rico

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Re: Sel Ibero 1999 Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 22 Jun, 2018 5:24 pm

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Sean $G$ el punto medio de $PB$, y $N=AG\cap BC$
Como $AB=AP$ entonces $AG\perp PB\perp PC\Rightarrow AG\parallel PC$
Como $AD\parallel BC$ y $CD\parallel AB$ entonces $ABCD$ y $ANCM$ son paralelogramos$\Rightarrow CB=AD$ y $CN=AM\Rightarrow \frac{AM}{DA}=\frac{CN}{CB}$
Por Thales resulta $\frac{CN}{CB}=\frac{PG}{PB}=\frac{1}{2}$
Luego $\frac{AM}{DA}=\frac{1}{2}\Rightarrow DM=AM\Rightarrow \frac{DM}{DA}=\frac{AM}{DA}=\frac{1}{2}$
Finalmente $\frac{DM}{DA}=\frac{1}{2}$
[math]

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