Sel Ibero 1994 Problema 2

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Prillo

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Sel Ibero 1994 Problema 2

Mensaje sin leer por Prillo » Jue 17 Ene, 2013 5:47 pm

En un triángulo [math], sea [math] el pie de la altura trazada desde [math]. La bisectriz del ángulo [math] corta al lado [math] en [math] y el ángulo [math] es de [math] grados. Calcular la medida del ángulo [math].

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lichafilloy

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Re: Sel Ibero 1994 Problema 2

Mensaje sin leer por lichafilloy » Mié 23 Ene, 2013 8:00 pm

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- Sea [math]. Como [math], por suma de ángulos interiores [math]. Y nos queda [math].
- Sea [math] en [math] tal que [math].
- Por el critero [math], los triangulos [math] y [math] son congruentes. De Donde [math] y [math].
Entonces [math]. De donde restando nos queda [math].
Y, en el triangulo [math]: [math].
- Ahora notemos que el cuadrilátero [math] es cíclico, pues los angulos opuestos suman [math]. De donde [math] ya que ambos angulos estan inscriptos en la cuerda [math].
- FInalmente, [math]
[math]. [math]
Última edición por lichafilloy el Mié 23 Ene, 2013 9:10 pm, editado 1 vez en total.
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Nacho

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Re: Sel Ibero 1994 Problema 2

Mensaje sin leer por Nacho » Mié 23 Ene, 2013 9:02 pm

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Sea [math] la intersección de la bisectriz de [math] con [math].
Entonces, [math] es cíclico, pues [math].
Por lo tanto, [math].
Como [math] es intersección de las bisectrices de [math] y [math], entonces [math] es bisectriz de [math].
Denotamos [math]. Es claro que [math]. Por el cíclico, [math].
Entonces, [math]. Se sigue así que [math]. Por lo tanto [math], pero como [math] es bisectriz de [math], tenemos que [math]. Entonces, [math], de donde [math]. Y así, [math]. Y estamos. [math]
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AgusBarreto

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Re: Sel Ibero 1994 Problema 2

Mensaje sin leer por AgusBarreto » Sab 15 Ago, 2015 10:34 pm

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Denominamos [math] , luego [math] y por angulitos [math]

Si extendemos [math] Y [math] notamos que [math] es bisectriz exterior del triángulo [math]. Entonces [math] es excentro del triángulo [math].

Por último, por lo dicho anteriormente, [math] es bisectriz exterior en el ángulo [math], entonces [math]

Y con eso estamos.

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Gianni De Rico

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Re: Sel Ibero 1994 Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 22 Jun, 2018 5:10 pm

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Sea $G$ la segunda intersección del circuncírculo de $\triangle ABH$ con la recta $BE$, luego, $GA=GH$ por ser $BG$ bisectriz de $A\widehat BH$ y $A\widehat GB=A\widehat HB=90°\Rightarrow A\widehat GE=90°$
Como $A\widehat EG=45°$ tenemos $E\widehat AG=45°\Rightarrow GE=GA=GH$ por lo que $G$ es el circuncentro de $\triangle AEH\Rightarrow A\widehat HE=\frac{1}{2}A\widehat GE=\frac{1}{2}90°=45°$
Finalmente $E\widehat HC=45°$
[math]

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