Sel Ibero 1993 Problema 1

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Prillo

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Sel Ibero 1993 Problema 1

Mensaje sin leer por Prillo » Jue 17 Ene, 2013 5:52 pm

Sea [math] un triángulo y sea [math] el centro de la circunferencia que es tangente al lado [math] y a las prolongaciones de los lados [math] y [math]. Si [math] es el centro de la circunferencia que pasa por [math] y [math], probar que [math] y [math] pertenecen a una circunferencia.

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lichafilloy

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Re: Sel Ibero 1993 Problema 1

Mensaje sin leer por lichafilloy » Lun 21 Ene, 2013 1:45 am

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Es claro que [math] es el excentro del triangulo [math] a partir de la bisecriz interior de [math].

-Sea [math] luego, por ser [math] bisectriz exterior de [math], [math].
-Sea [math]. por resta de angulos, [math], y [math]
- Notemos qué [math] esta inscripto en la circunscripta de centro [math]. Luego [math]
Entonces tenemos que [math] mientras ambos angulos subtienden a [math]. Luego el cuadrilátero [math] es cíclico como queríamos ver. [math]
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Fran5

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Re: Sel Ibero 1993 Problema 1

Mensaje sin leer por Fran5 » Mar 25 Mar, 2014 2:18 pm

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Claramente el problema es el mismo si se pide demostrar que [math] son concíclicos, donde [math] es el circuncentro de [math]

[math] es cíclico [math] [math] pertenece a la circunferencia circunscrita de [math]
[math] es cíclico [math] [math] pertenece a la circunferencia circunscrita de [math]

Por lo tanto, solo tenemos que demostrar que [math] es cíclico. Que es lo mismo que demostrar [math] ó [math]

Separamos en tres casos (aunque su resolución es similar)
[math] y [math] están en el mismo semiplano que [math] respecto de [math]
Ni [math] ni [math] están en el mismo semiplano que [math] respecto de [math]
Sólo un punto está en el mismo semiplano que [math] respecto de [math]

Para el primer caso
Si prolongamos [math] para cortar a ésta circunferencia en [math], vemos que [math] es un diámetro. Además [math] pertenece a la recta [math].
Del mismo modo, [math] es diametro, y [math] pertenece a [math]
Ahora,
[math]

Para el segundo caso usamos lo mismo solo que [math] y [math]

Para el tercer caso se cumple que [math]. Luego, por lo visto anteriormente, se cumple.
Última edición por Fran5 el Mar 25 Mar, 2014 6:37 pm, editado 2 veces en total.
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Julian_Ferres

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Re: Sel Ibero 1993 Problema 1

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Mar 25 Mar, 2014 5:07 pm

Mas sencillo
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Si [math] tenemos que [math]
Como [math] es el centro de [math] y [math] entonces:
[math]

Como queríamos demostrar [math]

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Gianni De Rico

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Re: Sel Ibero 1993 Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 22 Jun, 2018 4:59 pm

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Sean $I$ el incentro de $\triangle ABC$ y $D'$ la segunda intersección de $CO$ con el circuncírculo de $\triangle ABC$
Claramente $O$ es el $B$-excentro de $\triangle ABC$, luego $B,I,O$ son colineales y $I\widehat AO=I\widehat CO=90°\Rightarrow AICO$ es cíclico, luego, $D'\widehat OB=D'\widehat OI=C\widehat OI=C\widehat AI=\frac{1}{2}C\widehat AB=\frac{1}{2}C\widehat {D'}B\Rightarrow C\widehat {D'}B=2D'\widehat OB$, pero $C\widehat {D'}B=D'\widehat OB+D'\widehat BO\Rightarrow D'\widehat OB=D'\widehat BO\Rightarrow D'B=D'O$
Como $O$ es excentro entonces $D'$ es el punto medio del arco $AB$ que contiene a $C\Rightarrow D'A=D'B=D'O$
Por lo tanto $D'$ es el centro de la circunferencia que pasa por $A,B,O\Rightarrow D'\equiv D$
Finalmente $ABCD$ es cíclico
[math]

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