Selectivo Cono Sur 2008 P4

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Ivan

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Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por Ivan » Jue 07 Feb, 2013 8:56 pm

Sea [math] el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo [math]. Denotamos [math] al punto de intersección de la recta [math] con el segmento [math]. Si [math], calcular la medida de los ángulos del triángulo.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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lichafilloy

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Re: Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por lichafilloy » Mar 05 Mar, 2013 2:20 pm

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Sea [math]. Como [math] por ser radios de la circunscripta del triangulo, [math]. Finalmente [math]. Ahora por suplementarios, [math] ya que [math]. Notemos que [math] es angulo central correspondiente a la cuerda [math]. Luego [math].
- Trazamos [math]. Cómo [math] por ser radios de la circunscripta, [math].
- Notemos que los trangulos [math] y [math] son semejantes. Sea [math]. Luego [math].
Por semejanza [math]. Entonces [math] de donde [math].
Entonces en el triangulo [math] tenemos que sus lados son [math], [math] y [math] por lo que claramente se cumple el teorema de pitagoras, pues [math]. De donde [math] (ángulo central e inscripto). Luego [math] de donde [math] y por ende los angulos del triangulo valen [math], [math] y [math]. [math]
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Matías V5

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Re: Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mar 05 Mar, 2013 6:27 pm

Fijate Licha que en tu solución estás asumiendo que el [math] te queda adentro del triángulo, es decir que [math] es acutángulo, lo cual no tendría por qué pasar. Si el triángulo es acutángulo lo que hiciste está bien; si no lo es, te aparece una posibilidad más para las medidas de los ángulos.
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lichafilloy

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Re: Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por lichafilloy » Mié 06 Mar, 2013 8:27 pm

Uh es verdad mala mia :S .. voy a ver entonces como sale para [math] no interno y edito.
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Caro - V3

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Re: Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mié 06 Mar, 2013 8:58 pm

Igual no te preocupes, el único que se dio cuenta de eso en la prueba fue @Matías V5 :P
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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lichafilloy

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Re: Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por lichafilloy » Jue 07 Mar, 2013 10:50 pm

Sisi me entere jajajaj, si lo dividis en casos creo que sale, el tema que estaria bueno ver es como hacerlo todo de una asi como mati :P
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 03 Dic, 2017 4:59 pm

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Veamos que el triángulo es acutángulo.
Si $O$ está fuera del triángulo, entonces $D$ cae sobre la prolongación del lado $BC$. Ahora, tenemos que $OD=BD$, por lo tanto, $O$ pertenece a la circunferencia $\Gamma$ de centro $D$ y radio $BD$; además, $O$ pertenece a la mediatriz de $BC$, entonces, $O$ pertenece a la intersección de la mediatriz de $BC$ con la $\Gamma$. Si trazamos la tangente a $\Gamma$ por $B$, tenemos que esta es perpendicular a $BD$ y por lo tanto paralela a la mediatriz de $BC$. Como estas rectas son distintas y además $\Gamma$ y la mediatriz están en distintos semiplanos respecto de $BC$, se concluye que no tienen intersección, por lo tanto, no existe $O$. Se sigue que $O$ está dentro de $\triangle ABC$.

Sea $M$ el punto medio de $BC$, entonces $OM\perp BC$ y $DM=BC-CM-BD=BC-\frac{1}{2}BC-\frac{1}{3}BC$, por lo tanto, $DM=\frac{1}{6}BC$, como $OD=BD=\frac{1}{3}BC=2\times \frac{1}{6}BC$ tenemos que $\triangle OMD$ es medio equilátero y por lo tanto $O\widehat DM=60°=\alpha$ y $M\widehat OD=30°=\frac{\alpha}{2}=\beta$.

Como $\triangle ODB$ es isósceles en $D$, $D\widehat BO=D\widehat OB=\frac{1}{2}O\widehat DM=\frac{\alpha}{2}=\beta$. Luego, $M\widehat OB=M\widehat OD+D\widehat OB=\beta +\beta =\alpha$, como $OB=OC$ por ser circuncentro, entonces $\triangle COB$ es isósceles en $O$, $OM$ es mediatriz y bisectriz, luego $C\widehat OM=\alpha$ y $M\widehat CO=\beta$

Mirando $\triangle AOB$ tenemos que $AO=BO$ por ser circuncentro, que $O\widehat BA=O\widehat AB=\frac{\beta}{2}=15°=\delta$ y $A\widehat OB=180°-\beta =150°=\theta$. Entonces $A\widehat OC=360°-\alpha -2\beta -\theta=360°-60°-2\times 30°-150°=90°$, como $OA=OC$ por ser circuncentro, entonces $O\widehat AC=O\widehat CA=45°=\omega$

Entonces:
$C\widehat AB=\omega +\delta=45°+15°=60°$
$A\widehat BC=\delta +\beta=15°+30°=45°$
$B\widehat CA=\beta +\omega=30°+45°=75°$
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[math]

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