Selectivo Cono Sur 2008 P4

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Ivan

Colaborador-Varias
Mensajes: 1022
Registrado: Vie 15 Oct, 2010 7:18 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico

Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por Ivan »

Sea [math] el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo [math]. Denotamos [math] al punto de intersección de la recta [math] con el segmento [math]. Si [math], calcular la medida de los ángulos del triángulo.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

Avatar de Usuario
lichafilloy

Colaborador-Varias OFO - Mención-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2017 OFO - Medalla de Plata-OFO 2019
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2021
Mensajes: 116
Registrado: Dom 02 Sep, 2012 12:51 pm
Medallas: 7
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Quilmes

Re: Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por lichafilloy »

Spoiler: mostrar
Sea [math]. Como [math] por ser radios de la circunscripta del triangulo, [math]. Finalmente [math]. Ahora por suplementarios, [math] ya que [math]. Notemos que [math] es angulo central correspondiente a la cuerda [math]. Luego [math].
- Trazamos [math]. Cómo [math] por ser radios de la circunscripta, [math].
- Notemos que los trangulos [math] y [math] son semejantes. Sea [math]. Luego [math].
Por semejanza [math]. Entonces [math] de donde [math].
Entonces en el triangulo [math] tenemos que sus lados son [math], [math] y [math] por lo que claramente se cumple el teorema de pitagoras, pues [math]. De donde [math] (ángulo central e inscripto). Luego [math] de donde [math] y por ende los angulos del triangulo valen [math], [math] y [math]. [math]
Master de Rumania y paz mundial

Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 FOFO 6 años - Jurado-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
OFO - Jurado-OFO 2018 OFO - Jurado-OFO 2020 OFO - Jurado-OFO 2021
Mensajes: 1028
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico

Re: Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Fijate Licha que en tu solución estás asumiendo que el [math] te queda adentro del triángulo, es decir que [math] es acutángulo, lo cual no tendría por qué pasar. Si el triángulo es acutángulo lo que hiciste está bien; si no lo es, te aparece una posibilidad más para las medidas de los ángulos.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y

Avatar de Usuario
lichafilloy

Colaborador-Varias OFO - Mención-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2017 OFO - Medalla de Plata-OFO 2019
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2021
Mensajes: 116
Registrado: Dom 02 Sep, 2012 12:51 pm
Medallas: 7
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Quilmes

Re: Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por lichafilloy »

Uh es verdad mala mia :S .. voy a ver entonces como sale para [math] no interno y edito.
Master de Rumania y paz mundial

Avatar de Usuario
Caro - V3

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015
Mensajes: 357
Registrado: Sab 16 Oct, 2010 4:20 pm
Medallas: 2
Nivel: Exolímpico

Re: Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por Caro - V3 »

Igual no te preocupes, el único que se dio cuenta de eso en la prueba fue @Matías V5 :P
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

Avatar de Usuario
lichafilloy

Colaborador-Varias OFO - Mención-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2017 OFO - Medalla de Plata-OFO 2019
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 OFO - Medalla de Bronce-OFO 2021
Mensajes: 116
Registrado: Dom 02 Sep, 2012 12:51 pm
Medallas: 7
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Quilmes

Re: Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por lichafilloy »

Sisi me entere jajajaj, si lo dividis en casos creo que sale, el tema que estaria bueno ver es como hacerlo todo de una asi como mati :P
Master de Rumania y paz mundial

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años
Mensajes: 1843
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 12
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Spoiler: mostrar
Selectivo Cono 2008 P4.png
Veamos que el triángulo es acutángulo.
Si $O$ está fuera del triángulo, entonces $D$ cae sobre la prolongación del lado $BC$. Ahora, tenemos que $OD=BD$, por lo tanto, $O$ pertenece a la circunferencia $\Gamma$ de centro $D$ y radio $BD$; además, $O$ pertenece a la mediatriz de $BC$, entonces, $O$ pertenece a la intersección de la mediatriz de $BC$ con la $\Gamma$. Si trazamos la tangente a $\Gamma$ por $B$, tenemos que esta es perpendicular a $BD$ y por lo tanto paralela a la mediatriz de $BC$. Como estas rectas son distintas y además $\Gamma$ y la mediatriz están en distintos semiplanos respecto de $BC$, se concluye que no tienen intersección, por lo tanto, no existe $O$. Se sigue que $O$ está dentro de $\triangle ABC$.

Sea $M$ el punto medio de $BC$, entonces $OM\perp BC$ y $DM=BC-CM-BD=BC-\frac{1}{2}BC-\frac{1}{3}BC$, por lo tanto, $DM=\frac{1}{6}BC$, como $OD=BD=\frac{1}{3}BC=2\times \frac{1}{6}BC$ tenemos que $\triangle OMD$ es medio equilátero y por lo tanto $O\widehat DM=60^\circ =\alpha$ y $M\widehat OD=30^\circ =\frac{\alpha}{2}=\beta$.

Como $\triangle ODB$ es isósceles en $D$, $D\widehat BO=D\widehat OB=\frac{1}{2}O\widehat DM=\frac{\alpha}{2}=\beta$. Luego, $M\widehat OB=M\widehat OD+D\widehat OB=\beta +\beta =\alpha$, como $OB=OC$ por ser circuncentro, entonces $\triangle COB$ es isósceles en $O$, $OM$ es mediatriz y bisectriz, luego $C\widehat OM=\alpha$ y $M\widehat CO=\beta$.

Mirando $\triangle AOB$ tenemos que $AO=BO$ por ser circuncentro, que $O\widehat BA=O\widehat AB=\frac{\beta}{2}=15^\circ =\delta$ y $A\widehat OB=180^\circ -\beta =150^\circ =\theta$. Entonces $A\widehat OC=360^\circ -\alpha -2\beta -\theta =360^\circ -60^\circ -2\cdot 30^\circ -150^\circ =90^\circ$, como $OA=OC$ por ser circuncentro, entonces $O\widehat AC=O\widehat CA=45^\circ =\omega$.

Entonces:
$C\widehat AB=\omega +\delta =45^\circ +15^\circ =60^\circ$
$A\widehat BC=\delta +\beta =15^\circ +30^\circ =45^\circ$
$B\widehat CA=\beta +\omega =30^\circ +45^\circ =75^\circ$
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

M. Julieta. B

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2021 FOFO 11 años - Mención-FOFO 11 años
Mensajes: 8
Registrado: Mar 21 Ene, 2020 11:05 am
Medallas: 2
Nivel: 3

Re: Selectivo Cono Sur 2008 P4

Mensaje sin leer por M. Julieta. B »

Spoiler: mostrar
Llamo $M$ al punto medio del segmento $\overline{DC}$. Obtengo que $\overline{BD}=\overline{OD}=\overline{DM}=\overline{MC}$. Como $O$ es circuncentro, $\overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OA}$. Llamo $\alpha =\angle BAO=\angle OBA\rightarrow \angle AOB=180^\circ -2\cdot \angle BAO=180^\circ -2\alpha \rightarrow \angle BOD=180^\circ -\angle AOB=180^\circ -(180^\circ -2\alpha )=2\alpha$.
$\angle BOD=\angle DBO=\angle OCB=2\alpha$.
Por criterio LAL, $\triangle OCM=\triangle OBD\Longrightarrow \overline{OM}=\overline{OD}=\overline{DM}=\overline{MC}=\overline{BD}$.
$\triangle OMD$ es equilátero $\Longrightarrow \angle ODB=180^\circ -4\alpha$ y $\angle MDO=4\alpha \Longrightarrow 4\alpha =60^\circ \rightarrow \alpha =15^\circ \Longrightarrow A=60^\circ$, $B=45^\circ$ y $C=75^\circ$.
@Monazo
1  

Responder