Nacional 1999 N2 P4

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3,14

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Nacional 1999 N2 P4

Mensaje sin leer por 3,14 » Mié 13 Feb, 2013 2:41 pm

El triángulo [math] es isósceles, con [math] y [math]. Se considera el punto [math] en el interior del triángulo tal que [math] y [math]. Hallar la medida del ángulo [math].
[math]

ktc123

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Re: nacional n2 1999

Mensaje sin leer por ktc123 » Mié 13 Feb, 2013 4:03 pm

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Como [math] es isóceles y [math], entonces [math] de donde [math]. Luego al ser [math] isóceles, [math] de donde [math]. Entonces como [math] y [math] (por ser opuestos por el vértice), resulta que [math] y que el cuadrilátero [math] es cíclico.

Al ser [math] cíclico, por arco capaz como [math], [math], de donde [math]. Análogamente como[math],[math], de donde [math], y como [math] resulta que [math] es isócles de donde[math].

También utilizando otra vez que [math] es cíclico, [math], y [math]. Por suma de ángulos en [math] resulta que [math]de donde el triángulo es isóceles, entonces [math]. De esta última igualdad surge que [math] es isóceles, y como [math], entonces [math].

Por último tenemos que [math]


Imagen
Última edición por ktc123 el Mié 13 Feb, 2013 4:22 pm, editado 1 vez en total.
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨

bruno
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Re: nacional n2 1999

Mensaje sin leer por bruno » Mié 13 Feb, 2013 4:16 pm

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Primero, como [math] es isosceles entonces [math]. Luego, como [math], [math] y como [math] es isosceles surge que [math] y como [math], entonces [math].

Pongamos ahora [math]. Mirando los angulos del triangulo [math] sale que [math]. Luego como [math], sale que [math]

Aplicando teorema del seno en [math] sale que [math]. Aplicandolo en MAC queda [math]. Pero como [math], queda [math]. Obviamente estos angulos no pueden ser iguales asi que solamente pueden ser suplementarios, por lo tanto

[math]
[math]
[math]
[math]

joa.fernandez

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Re: Nacional 1999 N2 P4

Mensaje sin leer por joa.fernandez » Jue 12 Sep, 2019 9:22 pm

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Llamamos $D$ a la intersección de la recta $BM$ con $AC$, y $E$ a la intersección de la recta $AM$ con $BC$.
Por angulitos e isósceles llegamos a que $M\hat{B}C = 11°$. Luego, el cuadrilátero $ABDE$ es cíclico. Entonces $A\hat{E}D = 71°$. Como $\triangle{ABM}$ es isósceles, $B\hat{M}A = 71°$ y por opuestos por el vértice, $D\hat{M}E = 71°$. Nuevamente, por angulitos, $A\hat{E}B = 60$; $C\hat{E}D = 180°- 60°- 71°= 49°$. Por lo tanto, $\triangle{DEC}$ es isósceles. Ahora llamamos a $M\hat{C}B = \alpha$. Veamos a $D$ como el centro de una circunferencia de radio $DC$, por ángulo central, $2\alpha = 38° = E\hat{D}M$, $\alpha = 19°$.
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