34 T. I. de las Ciudades Primavera 2012 N Mayor Problema 3

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Nacho

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34 T. I. de las Ciudades Primavera 2012 N Mayor Problema 3

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Diremos que un punto del plano es un nodo si sus dos coordenadas son enteras. Consideramos un triángulo que tiene sus tres vértices en nodos y contiene por lo menos dos nodos en su interior. Demostrar que hay dos nodos interiores al triángulo tales que la recta que pasa por ellos o bien pasa por un vértice o bien es paralela a un lado del triángulo. (6 puntos)
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Dauphineg

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Re: 34 T. I. de las Ciudades Primavera 2012 N Mayor Problema 3

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Lema 1
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Si $X$ e $Y$ son nodos y $Z$ es el simétrico de $X$ con respecto a $Y$ entonces $Z$ es nodo también.
Demostración: Como $Y$ es punto medio de $\overline{XZ}$ usando la fórmula para coordenadas de punto medio de un segmento llegamos a que la abscisa de $Z$ sera el doble de la abscisa de $Y$ (que es entera) menos la abscisa de $X$ (que es entera), osea que la abscisa de $Z$ sera entera. Análogamente se llega a que la ordenada de $Z$ es entera y entonces $Z$ es nodo.
Lema 2:
Spoiler: mostrar
Si $X$, $Y$ y $Z$ son nodos y $W$ es un punto tal que los segmentos $\overline{WX}$ y $\overline{YZ}$ son iguales y paralelos, entonces $W$ es nodo también
Demostración: De acuerdo a la definición dada a $W$ sera $\overrightarrow{WX}=\overrightarrow{YZ}$. Las componentes de un vector son iguales a la resta de coordenadas entre extremo y origen, así que las componentes de $\overrightarrow{YZ}$ serán enteras y entonces también las componentes de $\overrightarrow{WX}$ serán enteras, pero como las coordenadas del extremo $X$ son enteras entonces también lo serán las coordenadas del origen $W$ y llegamos a que $W$ es nodo
Lema 3
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Si un triángulo $ABC$ tiene sus $3$ vértices en nodos y $X$ e $Y$ son nodos distintos entre ellos y distintos a los vértices del triángulo $ABC$ tal que ninguno de ellos está fuera del triángulo $ABC$ y además la recta que pasa por ellos no es paralela a ninguno de los lados del triángulo $ABC$ entonces existirá un punto $Z$ interior al triángulo $ABC$ tal que el $\overline{XY}$ es igual y paralelo a un segmento que una un vértice del triángulo $ABC$ con el punto $Z$
Demostración: Como $\overline{XY}$ no es paralelo a ninguno de los lados del triángulo entonces podemos trazar por los vértices del triángulo $ABC$ rectas paralelas a $\overline{XY}$ y estas rectas serán todas distintas entre si, hecho que nos asegura que habrá una entre medio de las otras $2$. Supongamos sin perdida de generalidad que dicha recta intermedia es la que pasa por el vértice $A$, esta recta cortara necesariamente a $\overline{BC}$ en un punto $P$ y tendremos que $\overline{AP}\parallel \overline{XY}\Rightarrow \overline{AP}> \overline{XY}$ (Notar que $X\neq A$)
Luego existirá en $\overline{AP}$ un punto $Z$ interior al triángulo $ABC $ tal que los segmentos $\overline{XY}$ y $\overline{AZ}$ son iguales y paralelos.
Hemos aquí obviado algunas explicaciones, como el porque $Z\neq P$ y también $Z\neq A$
Pasamos al problema planteado:
Spoiler: mostrar
Sean $D,E$ y $F$ los puntos medios de los lados $\overline{BC},\overline{CA}$ y $\overline{AB}$ respectivamente, sabemos que existen al menos $2$ nodos $X$ e $Y$ interiores al triángulo $ABC$, tenemos dos posibilidades:
1) Al menos uno de estos $2$ nodos esta fuera del triángulo $DEF$, supongamos que es $X$ dicho nodo y supongamos sin perdida de generalidad que el mismo esta en el interior del triángulo $CDE$ (notar que no puede estar en los bordes de dicho triángulo). Por Lema 1 tenemos que el simétrico de $C$ con respecto a $X$ sera un nodo y ademas interior al $ABC$, tenemos entonces que hay $2$ nodos interiores al triángulo $ABC$ que están alineados con un vértice y es valida la afirmación del problema en este caso.
2) Ni $X$ ni $Y$ son exteriores al triángulo $DEF$, si $\overline{XY}$ es paralelo a alguno de los lados del triángulo $ABC$ la afirmación del problema es valida, y si no es paralelo a ninguno de los lados del triángulo $ABC$ entonces tampoco es paralelo a ninguno de los lados del triángulo $DEF$ (Notar que los nodos $X$ e $Y$ no pueden ser los vértices del triángulo $DEF$ porque están el en interior del $ABC$ por hipótesis), pero entonces (por Lema 3) existirá un punto $Z$ interior al triángulo $DEF$ tal que algún segmento que una alguno de los vértices del triángulo $DEF$ con el punto $Z$ sera igual y paralelo a $XY$. Supongamos sin perdida de generalidad que $\overline{XY}$ es igual y paralelo a $\overline{EZ}$. Llamemos $M$ al punto medio de $\overline{FD}$
Si tomamos el simétrico de $Z$ con respecto a $M$ obtendremos un punto $W$ (Notar que $M$ es también punto medio de $\overline{BE}$) así que
los segmentos $\overline{EZ}$ y $\overline{BW}$ son iguales y paralelos,obviamente con $W$ interior al triángulo $FDB$, concluimos que los segmentos $\overline{XY}$ y $\overline{BW}$ son iguales y paralelos,(por Lema 2) $W$ sera un nodo y exterior al triángulo $DEF$ entonces nuevamente por 1) podríamos confirmar que es valida la afirmación.
Fin del problema

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