Rioplatense 2007 - N2 P2

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Matías V5

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Rioplatense 2007 - N2 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 15 Mar, 2013 9:30 pm

Sea [math] la circunferencia circunscrita al triángulo acutángulo [math] y [math] un punto sobre el arco [math] que no contiene a [math]. Sean [math] y [math] los pies de las perpendiculares desde [math] a las rectas [math] y [math] respectivamente. Sean [math] y [math] las intersecciones de [math] y [math] con [math] respectivamente y [math] la intersección de las rectas [math] y [math].
Demuestre que [math], donde [math] es el centro de [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Gianni De Rico

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Re: Rioplatense 2007 - N2 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 16 Feb, 2019 1:13 am

Spoiler: mostrar
Sea $D$ el segundo punto de intersección de $PS$ con $\Gamma$.
Notemos que por Simson, $K,S,L$ son colineales, además, $BSPK$ y $PSLC$ son cíclicos, luego $\angle ACB=\angle LCS=\angle LPS=\angle NPD$, de donde $AB=DN$ pues subtienden el mismo ángulo, por lo tanto $BN\parallel AD$. Además, $\angle ABC=\angle SPK=\angle DPM$, de donde $AC=DM$, pues subtienden el mismo ángulo, por lo tanto $CM\parallel AD$, luego $BN\parallel CM$. Pero de $AB=DN$ se sigue $AN=BD$, es decir $\angle ABN=\angle BPD=\angle BPS=\angle BKS$, de donde $BN\parallel KS$, es decir $TS\parallel CM$.
De $BN\parallel CM$ se tiene que $BMCN$ es un trapecio isósceles, es decir $BC=MN$ y $\angle SCM=\angle BCM=\angle NMC=\angle TMC$, como $TS\parallel CM$ resulta que $STCM$ es un trapecio isósceles, es decir $TM=SC$. Luego $SB=BC-SC=MN-TM=TN$, es decir $SB\cdot SC=TN\cdot TM$. Sea $r$ el radio de $\Gamma$, luego $OS^2-r^2=\text{Pot}(S,\Gamma )=SB\cdot SC=TN\cdot TM=\text{Pot}(T,\Gamma )=OT^2-r^2$, de donde $OS^2=OT^2$, y al estar hablando de segmentos se concluye que $OS=OT$.
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[math]

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