Rioplatense 2007 - N2 P4

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Matías V5

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Rioplatense 2007 - N2 P4

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 15 Mar, 2013 9:32 pm

Sea [math] un triángulo acutángulo, tal que [math]. Se traza una circunferencia con diámetro [math], y sobre ella un punto [math] tal que [math] y [math] está en el semiplano determinado por [math] que no contiene a [math]. [math] corta a la circunferencia nuevamente en [math], y [math] corta en [math] a la recta perpendicular a [math] que pasa por [math]. Demuestre que [math] y las bisectrices de los ángulos [math] y [math] son concurrentes.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Gianni De Rico

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Re: Rioplatense 2007 - N2 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 28 Dic, 2018 7:17 pm

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Como $AC$ es diámetro tenemos $\angle APC=\angle AQC=90°$, luego, $\angle RQC=90°=\angle RBC$, por lo que $RBQC$ es cíclico, entonces $\angle BCR=\angle BQR=\angle PQA=\angle PCA$, juntando esto con $\angle RBC=90°=\angle APC$ tenemos $\triangle RBC\simeq \triangle APC\Rightarrow \frac{RB}{RC}=\frac{AP}{AC}=\frac{AB}{AC}$. Sean $D$ y $D'$ en el segmento $BC$ tales que $AD$ se bisectriz de $\angle BAC$ y $RD'$ es bisectriz de $\angle BRC$, entonces por el Teorema de la Bisectriz tenemos $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{RB}{RC}=\frac{BD'}{D'C}$, por lo que $D=D'$. Entonces $BC$ y las bisectrices de $\angle BRC$ y $\angle BAC$ pasan por $D$, es decir que son concurrentes.
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[math]

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