OMA Foros

Publicado: **Vie 15 Mar, 2013 9:32 pm**

Sea

ABC un triángulo acutángulo, tal que

AB < AC. Se traza una circunferencia con diámetro

AC, y sobre ella un punto

P tal que

AP = AB y

P está en el semiplano determinado por

AC que no contiene a

B.

BP corta a la circunferencia nuevamente en

Q, y

AQ corta en

R a la recta perpendicular a

BC que pasa por

B. Demuestre que

BC y las bisectrices de los ángulos

\angle BRC y

\angle BAC son concurrentes.

Publicado: **Vie 28 Dic, 2018 7:17 pm**

Spoiler: mostrar: Rioplatense 2007 N2 P4.png
Como $AC$ es diámetro tenemos $\angle APC=\angle AQC=90^\circ$, luego, $\angle RQC=90^\circ =\angle RBC$, por lo que $RBQC$ es cíclico, entonces $\angle BCR=\angle BQR=\angle PQA=\angle PCA$, juntando esto con $\angle RBC=90^\circ =\angle APC$ tenemos $\triangle RBC\simeq \triangle APC\Rightarrow \frac{RB}{RC}=\frac{AP}{AC}=\frac{AB}{AC}$. Sean $D$ y $D'$ en el segmento $BC$ tales que $AD$ es bisectriz de $\angle BAC$ y $RD'$ es bisectriz de $\angle BRC$, entonces por el Teorema de la Bisectriz tenemos $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{RB}{RC}=\frac{BD'}{D'C}$, por lo que $D=D'$. Entonces $BC$ y las bisectrices de $\angle BRC$ y $\angle BAC$ pasan por $D$, es decir que son concurrentes.

Rioplatense 2007 - N2 P4