Selectivo Ibero 2013 P3

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Fran5

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Selectivo Ibero 2013 P3

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 08 Ago, 2013 6:51 pm

Sea [math] un triángulo isósceles de base [math]. Se eligen los puntos [math] en el lado [math] y [math] en el lado [math] tales que [math]. La recta paralela a [math] que pasa por el punto medio del segmento [math] corta al segmento [math] en [math]. La circunferencia que pasa por los vértices del triángulo [math] corta a la recta [math] en los puntos [math] y [math], y a la recta [math] en los puntos [math] y [math]. Si [math] es el punto de intersección de las rectas [math] y [math], demostrar que la recta [math] es perpendicular a la recta [math].
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Fran5

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Re: Selectivo Ibero 2013 P3

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 08 Ago, 2013 7:32 pm

Me acabo de dar cuenta que me falto un poco en la solución, pero la idea está (creo)
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Bueno, la idea era poner [math] como punto medio de [math] y [math] en [math] tal que [math]
Luego te queda que [math]
Por arco capaz en la circunferencia te queda que [math] y entonces en [math] [math] es el ortocentro
Como no me alcanzo el tiempo, me falto demostrar que PMN y XQB eran semejantes
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ésta

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Re: Selectivo Ibero 2013 P3

Mensaje sin leer por ésta » Jue 08 Ago, 2013 10:40 pm

Es medio cuentoso esto pero:
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Sea [math], [math] y [math].
Tenemos [math], [math], [math].

Sea [math] la interesección entre [math] y [math].
Como [math] es base media de [math], tenemos:
[math], [math], [math].
Como [math] es paralela a [math] y [math] es isósceles, [math] es isósceles.
Luego [math].
Y [math].
Se sigue que [math], por lo que [math] es el circuncentro de [math], y luego [math] es diámetro.

Pero eso quiere decir que [math], luego [math] y [math] son alturas del triángulo [math].
Luego [math] es ortocentro de [math], y [math] es altura, lo que demuestra que [math] y [math] son perpendiculares.
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Vladislao

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Re: Selectivo Ibero 2013 P3

Mensaje sin leer por Vladislao » Vie 09 Ago, 2013 12:46 am

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Sea [math] el punto medio de [math]. Sea [math] sobre la semirrecta [math] tal que [math]. Sea [math] la recta paralela a [math] que pasa por [math]. Es claro que [math], además, [math] pasa por el punto medio de [math]. Luego, [math] intersecta a [math] en su punto medio. Veamos que [math] también intersecta a [math] en su punto medio.
En efecto, sea [math] la intersección de [math] y [math]. Es claro que en los triángulos [math] y [math] se tiene que [math] y que [math] (es decir hay ángulos iguales oponiéndose a lados iguales). Como [math] era isósceles, los ángulos [math] y [math] son suplementarios, y por lo tanto [math].
Luego resulta que [math]. Además, al ser [math] isósceles, y [math] punto medio de [math], se tiene que [math]. Luego, [math] es diámetro. Sigue que [math] y [math], de donde [math] es ortocentro de [math], y trivialmente [math].

Nota: La igualdad [math] es una consecuencia linda y sencilla del teorema del seno aplicado a los correspondientes triángulos.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Prillo

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Re: Selectivo Ibero 2013 P3

Mensaje sin leer por Prillo » Vie 09 Ago, 2013 1:32 am

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Si demostramos que [math] habremos terminado, pues se seguirá que [math] y [math] y luego [math] será el ortocentro del triángulo [math].

Quedémonos sólo con los puntos [math] y [math] que define el problema; los otros no nos interesan por ahora. Sea [math] el excentro del triángulo [math] respecto del vértice [math], y sea [math] dicho excírculo; [math] y [math] son bisectrices de [math] y [math] respectivamente. Supongamos que [math] es tangente a las rectas [math] y [math] en [math] y [math] respectivamente. Luego por propiedades de tangencia del excírculo, [math] y también [math] de donde se deduce que [math] y [math]. Sean [math] y [math]. Luego denotando [math] y [math] es trivial despejar [math], de donde el cuadrilátero [math] es cíclico, y también es trivial despejar [math] de donde los cuadriláteros [math] y [math] tambien son cíclicos. Luego [math], luego si [math] denota el punto medio del segmento [math], tenemos que [math] es el centro de la circunferencia por [math]. Luego el triángulo [math] es isóceles con [math] y así [math]. Entonces [math], y [math] es la intersección de la paralela a [math] por el punto medio de [math], y el lado [math]. Es decir [math], y el problema sigue.

Leo
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Re: Selectivo Ibero 2013 P3

Mensaje sin leer por Leo » Mar 13 Ago, 2013 12:24 am

Bue, misma idea que todos... Si demostramos que PQ es diámetro de la circunferencia que pasa por PNQ, ganamos. Ya que PKQ = PLQ = 90º, es decir PL y QK alturas del triángulo CPQ, entonces donde se cortan (en R) es el ortocentro de dicho triángulo y CR es perpendicular a PQ.

Para demostrar que PQ es diámetro, quiero demostrar que PNQ es 90º, para esto si llamamos M al punto medio de PQ, quiero demostrar que PM = MN = MQ. Y de esto sigue que PNQ = 90º.

Me quedo solo con los puntos ABC y P, Q, M y N.

Si llamamos a PA = X, QB = Y, tenemos: PA = PC = X, QB = QC = Y
Por enunciado: PQ = X+Y, PM = MQ = (X+Y)/2, queremos llegar a que MN = (X+Y)/2

Tiramos PB y que corta a MN en J. Como MJ pasa por el punto medio de PQ y es paralela a la base es base media. Por lo tanto MJ = X/2. Ahora nos faltaría demostrar que JN = Y/2 y tendríamos lo que queremos.

J es punto medio de PB, si tiramos la base media del triángulo ABP y que corta a AB en L. JL es base media de PAB y mide Y/2. Pero se nos forma el triángulo JLN que es isósceles ya que se forma con la base del triángulo original y paralela a sus lados iguales. Por lo tanto JN=Y/2, como queríamos.

MN = (X+Y)/2 = MP =MQ, PQ diámetro y KQ y LP alturas, R ortocentro y CR perpendicular a PQ como pedía!

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DiegoLedesma
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Re: Selectivo Ibero 2013 P3

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Sab 29 Jul, 2017 12:27 am

Algo más simple:
*Sean [math] [math] [math] y [math]
*Sea [math] el punto medio de [math] [math]
*Por [math] trazamos la paralela a [math], que corta a [math] en [math].
[math] [math], por lo que [math] [math] es isósceles ([math]). Luego [math]
*[math] [math] es trapecio ([math]) y [math], base media.
[math]
*Luego, [math] [math] es rectángulo (por ser la menor mediana [math]
[math] es diámetro, y por arco capaz [math] [math]
[math] [math] es ortocentro de [math]
[math] [math] [math] [math] ([math])
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo Ibero 2013 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 30 Dic, 2018 5:43 pm

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Sea $G$ en la prolongación de $CB$ tal que $BG=AP$, luego $QG=QB+BG=QB+AP=QP$. Sean $O$ el punto medio de $PQ$ y $N'=AB\cap PG$. Por Menelao en $\triangle PGC$ (sin segmentos dirigidos) tenemos $\frac{CA}{AP}\frac{PN'}{N'G}\frac{GB}{BC}=1$, pero $BC=CA$ por ser $\triangle ABC$ isósceles de base $AB$, y $AP=GB$ por construcción, luego $\frac{PN'}{N'G}=1\Rightarrow PN'=N'G$, es decir que $N'$ es el punto medio de $PG$, luego $ON'$ es base media de $GQ$ en $\triangle PQG\Rightarrow ON'\parallel GQ\parallel BC\parallel ON$ y como $N$ y $N'$ están sobre $BC$, resulta $N=N'$. Ahora, como $N$ es el punto medio de $PG$ y $QG=QP$ tenemos $\angle QNP=90°$, y por arco capaz $\angle PKQ=\angle PLQ=90°$, de donde $C$ es el ortocentro de $\triangle PQR$ y $CR\perp PQ$.
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[math]

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